Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến, liên tục, giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty }

Câu hỏi số 492829:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến, liên tục, giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = 4\) và \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 36\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right)\). Tính \(f\left( 4 \right)\).

A. \(f\left( 4 \right) = 529\)

B. \(f\left( 4 \right) = 256\)

C. \(f\left( 4 \right) = 961\)

D. \(f\left( 4 \right) = 441\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492829

Giải chi tiết

Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 36\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Mà hàm số \(y = f\left( x \right)\) giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow 2x + 1 \ge 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 6\sqrt {2x + 1} \sqrt {f\left( x \right)} \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = 3\sqrt {2x + 1} \end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {f\left( x \right)} = 3\int {\sqrt {2x + 1} dx} = 3\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}dx} \\ \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)} = 3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{\left( {2x + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\\ \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right)} = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} + C\end{array}\)

Ta có \(f\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = 4 \Rightarrow \sqrt {f\left( {\dfrac{3}{2}} \right)} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {2.\dfrac{3}{2} + 1} \right)\sqrt {2.\dfrac{3}{2} + 1} + C = 2\\ \Leftrightarrow 4.\sqrt 4 + C = 2 \Leftrightarrow C = - 6\end{array}\)

\( \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)} = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} - 6\).

Vậy \(\sqrt {f\left( 4 \right)} = 9.\sqrt 9 - 6 = 21 \Rightarrow f\left( 4 \right) = 441\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.