Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} - 2 +

Câu hỏi số 493537:

Vận dụng cao

Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} - 2 + i} \right| = 2\). Số phức \(z\) thay đổi sao cho \(\left( {\overline {z - {z_1}} } \right)\left( {1 + i - {z_1}} \right)\) và \(\left( {z - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_2}} - 2 - i} \right)\) là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 3 + 2i} \right|\) bằng:

A. \(\dfrac{{11}}{5}\)

B. \(2\)

C. \(2 - \sqrt 2 \)

D. \(\sqrt {13} - 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493537

Giải chi tiết

Đặt \(w = {z_2} - 2 + i \Rightarrow \left| w \right| = 2\).

Ta có: \(\left( {z - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_2}} - 2 - i} \right) = \left( {z - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_2} - 2 + i} } \right) = \left( {z - {z_2}} \right)\overline w \) là số thuần ảo nên \(\left( {z - {z_2}} \right)\overline w = ki\,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\).

Mặt khác \(w.\overline w = {\left| w \right|^2} = 4 \Rightarrow \overline w = \dfrac{4}{w} \Rightarrow z = {z_2} + \dfrac{{kw}}{4}i\).

Mà \({z_2} = w + 2 - i\) \( \Rightarrow z = w + 2 - i + \dfrac{{kw}}{4}i = w + 2 + \left( {\dfrac{{kw}}{4} - 1} \right)i\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {z - 3 + 2i} \right| = \left| {w - 1 + \left( {\dfrac{{kw}}{4} + 1} \right)i} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\left( {\dfrac{{ki}}{4} + 1} \right)w - \left( {1 - i} \right)} \right| \ge \left| {\left( {\dfrac{{ki}}{4} + 1} \right)w} \right| - \left| {1 - i} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| w \right|\left| {\dfrac{{ki}}{4} + 1} \right| - \sqrt 2 = 2\sqrt {\dfrac{{{k^2}}}{{16}} + 1} - \sqrt 2 \ge 2 - \sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi \(z = {z_2} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)i\) và \({z_1}\) là số phức thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1\) và \(\left( {\overline {z - {z_1}} } \right)\left( {1 + i - {z_1}} \right)\) là số thuần ảo.

Vậy \(\min \left| {z - 3 + 2i} \right| = 2 - \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.