Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1}

Câu hỏi số 494569:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) và hai điểm \(A\left( {5;0;3} \right)\), \(B\left( {9; - 3;4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) lần lượt là hai mặt phẳng chứa \(AB\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(M,\,\,N\). Thể tích tứ diện \(ABMN\).

A. \(\dfrac{{12\sqrt {130} }}{{25}}\)

B. \(\dfrac{{36\sqrt {26} }}{{25}}\)

C. \(\dfrac{{6\sqrt {130} }}{{25}}\)

D. \(\dfrac{{18\sqrt {26} }}{{25}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494569

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

Gọi \(H = AB \cap \left( {IMN} \right),\,\,IH \cap MN = \left\{ K \right\}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IM \bot \left( P \right)\\IN \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\IN \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {IMN} \right)\)

Vì \(H \in AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = - 3t\\z = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {5 + 4t; - 3t;3 + t} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\) qua \(I\left( { - 2; - 1;2} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 3;1} \right)\) nên có phương trình \(4x - 3y + z + 3 = 0\).

Vì \(H \in \left( {IMN} \right) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( {1;3;2} \right)\).

\( \Rightarrow A\) là trung điểm của \(HB\).

\( \Rightarrow IH = 5 \Rightarrow MH = \sqrt {I{H^2} - I{M^2}} \Rightarrow MK = \dfrac{{12}}{5}\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{{24}}{5},\,\,HK = \dfrac{9}{5}\).

Ta có \({S_{\Delta HMN}} = \dfrac{1}{2}HK.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{5}.\dfrac{{24}}{5} = \dfrac{{108}}{{25}}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{ABMN}} = {V_{B.HMN}} - {V_{A.HMN}} = \dfrac{1}{3}HB.{S_{\Delta HMN}} - \dfrac{1}{3}AH.{S_{\Delta HMN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta HMN}}\left( {HB - AH} \right) = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta HMN}}.AB = \dfrac{{36\sqrt {26} }}{{25}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.