Có bao nhiêu số phức \(z\) có phần thực và phần ảo là các số nguyên đồng thời thỏa mãn

Câu hỏi số 494568:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức \(z\) có phần thực và phần ảo là các số nguyên đồng thời thỏa mãn \(\left| z \right| < 7\) và \(\left| z \right| + \left| {z - 1 - i} \right| = \left| {z + 1 + i} \right| + \left| {z - 2 - 2i} \right|\)?

A. \(6\)

B. \(9\)

C. \(7\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494568

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) xét các điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right)\), \(O\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {1;1} \right)\), \(C\left( {2;2} \right)\).

Giả sử số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{Z}} \right)\). Suy ra điểm \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\).

Khi đó \(\left| z \right| = MO,\,\,\left| {z - 1 - i} \right| = MB,\,\,\left| {z + 1 + i} \right| = MA,\,\,\left| {z - 2 - 2i} \right| = MC\).

Theo đề ra ta có: \(MO + MB = MA + MC\).

Ta cần chứng minh \(MO + MB \le MA + MC\).

Dựa vào tọa độ các điểm, ta có thể chứng minh được 4 điểm \(A,\,\,O,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường thẳng \(y = x\) và \(AO = OB = BC\).

Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(O\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(MD\) và \(AB\) nên \(MBDA\) là hình bình hành.

Tương tự ta chứng minh được: \(MO + MC \ge 2MB\).

Suy ra \(MA + MB + MO + MC \ge 2MO + 2MB \Rightarrow MO + MB \le MA + MC\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Dấu “=” xảy ra khi \(M\) thuộc đường thẳng \(y = x\) sao cho điểm \(M\) không nằm giữa \(A,\,\,C\) (dó thể trùng \(A\) hoặc \(C\)). Điều đó xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\\left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\).

Mặt khác \(\left| z \right| < 7 \Rightarrow {x^2} + {y^2} < 49 \Rightarrow {x^2} + {x^2} < 49 \Rightarrow - 4,95 < x < 4,95\,\,\left( {***} \right)\).

Vì \(x,\,\,y \in \mathbb{Z}\) nên từ (*), (**), (***) suy ra \(\left\{ {\left( {x;y} \right)} \right\} \in \left\{ {\left( { - 4; - 4} \right);\left( { - 3; - 3} \right);\left( { - 2; - 2} \right);\left( { - 1; - 1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}\)

Vậy có 7 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.