Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \(\dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \left(

Câu hỏi số 496145:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \(\dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \left( {\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2y}}} \right) = 1 + 2xy\). Khi biểu thức \(\dfrac{{20}}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{y^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{{32}}\)

B. \(\dfrac{9}{{100}}\)

C. \(\dfrac{9}{{200}}\)

D. \(\dfrac{1}{{64}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496145

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \left( {\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2y}}} \right) = 1 + 2xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \dfrac{{x + y}}{{2xy}} = 1 + 2xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} - 2xy + \log \left( {\dfrac{{x + y}}{{10}}.\dfrac{{10}}{{2xy}}} \right) - \log 10 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} + \log \dfrac{{x + y}}{{10}} = 2xy + \log \left( {2xy} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \log t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t\ln 10}} > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow f\left( {\dfrac{{x + y}}{{10}}} \right) = f\left( {2xy} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{10}} = 2xy \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 20\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} \right)\left( {\dfrac{1}{4} + 1} \right) \ge {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)^2} = 400\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} \right)\dfrac{5}{4} \ge 400 \Rightarrow \dfrac{{20}}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{y^2}}} \ge 1600\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right.\).

Vậy \(\min \left( {\dfrac{{20}}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{y^2}}}} \right) = 1600\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4},\,\,y = \dfrac{1}{{16}} \Rightarrow xy = \dfrac{1}{{64}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.