Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} +

Câu hỏi số 496152:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 6 = 0\). Gọi \(M\left( {{x_M},\,\,{y_M},\,\,{z_M}} \right)\) với \({x_M} > 0\), \({y_M} > 0\), \({z_M} > 0\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(B = {x_M} + {y_M} + {z_M}\) là:

A. \(10\)

B. \(3\)

C. \(5\)

D. \(21\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496152

Giải chi tiết

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 6 = 0\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là iao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\), khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 2t - 1} \right)^2} + {\left( {2 - t - 2} \right)^2} + {\left( {3 + 2t - 3} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow 9{t^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{3} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{11}}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{{17}}{3}} \right)\\t = - \dfrac{4}{3} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 5}}{3};\dfrac{{10}}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{M \in \left( S \right)} d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \max \left\{ {d\left( {E;\left( P \right)} \right);d\left( {F;\left( P \right)} \right)} \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {E;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{11}}{3} - 1.\dfrac{2}{3} + 2.\dfrac{{17}}{3} - 6} \right|}}{3} = 4\\d\left( {F;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 5}}{3} - 1.\dfrac{{10}}{3} + 2.\dfrac{1}{3} - 6} \right|}}{3} = 4\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{M \in \left( S \right)} d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 4 \Leftrightarrow M \equiv E\) hoặc \(M \equiv F\).

Do \({x_M} > 0\), \({y_M} > 0\), \({z_M} > 0\) nên \(M \equiv E\).

Vậy \(B = {x_M} + {y_M} + {z_M} = 10\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.