Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,\,\,AC = 2a,\,\,AA' = 2a\) và góc
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,\,\,AC = 2a,\,\,AA' = 2a\) và góc \(BAC\) bằng \({120^0}\). Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(CC'\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BK} \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Tính \(d\left( {A;\left( {A'BK} \right)} \right)\)
Ở bài toán này các em cần tiếp cận kỹ thuật “Mở rộng mặt phẳng” để đưa về bài toán chân đường cao.
Điểm $A$ chưa phải là chân đường cao của mp $\left( {{A'}BK} \right)$.
$\Rightarrow$ Cần mở rộng mp $\left( {A'BK} \right)$ xuống mặt phẳng đáy.
Kéo dài $A'K \cap AC = E \Rightarrow mp\left( {A'BK} \right) \equiv mp\left( {{A'}BE} \right)$.
Ta có $KC \parallel AA'$ và $KC = \dfrac{1}{2}CC' = \dfrac{1}{2}AA'$, suy ra $KC$ là đường trung bình của $\Delta EAA'$.
$\Rightarrow C$ là trung điểm của $AE$.
$\Rightarrow AE = 2AC = 4a$.
$\Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BK} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BE} \right)} \right)$.
$\Rightarrow$ Bài toán quy về tính khoảng cách từ chân đường cao $A$, ta thực hiện 3 nét dựng:
+) Nét 1: Kẻ $AI \bot BE\,\,\left( {I \in BE} \right)$.
+) Nét 2: Nối $A'I$.
+) Nét 3: Kẻ $AH \bot A'I\,\,\left( {H \in A'I} \right)$.
Khi đó ta có: $AH \bot \left( {A'BE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BE} \right)} \right) = AH$.
Tính $AH$:
Xét tam giác vuông $A'AI$ đường cao $AH$, ta có: $AH = \dfrac{{AA'.AI}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{I^2}} }}$
+) $AA' = 2a$.
+) $AI = \dfrac{{2{S_{\Delta ABE}}}}{{BE}}$.
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta ABE}} = \dfrac{1}{2}.AB.AE.\sin \angle A = \dfrac{1}{2}.a.4a.\sin 120^\circ = a^2\sqrt 3 \\B{E^2} = A{B^2} + A{E^2} - 2AB.AE.\cos \angle A = a^2 + {\left( {4a} \right)^2} - 2.a.4a.\cos 120^\circ = 21a^2\end{array} \right.$
$\Rightarrow BE = a\sqrt {21}$
$\Rightarrow AI = \dfrac{{2.a^2\sqrt 3 }}{{a\sqrt {21} }} = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}$
Thay vào tính $AH$:
$AH = \dfrac{{2a.\dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{4a^2\sqrt 7 }}{7}}}{{\sqrt {4a^2 + \dfrac{{4a^2}}{7}} }} = \dfrac{{\dfrac{{4a^2\sqrt 7 }}{7}}}{{\sqrt {\dfrac{{32a^2}}{7}} }} = \dfrac{{\dfrac{{4a^2}}{{\sqrt 7 }}}}{{\dfrac{{4a\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}}} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $d\left( {A;\left( {A'BK} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
