Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA = a\) và \(SA\)

Câu hỏi số 497739:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SB,\,\,SD\). Mặt phẳng \(\left( {AHK} \right)\) cắt \(SC\) tại \(P\). Tính \({V_{S.AHPK}}\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{120}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{40}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{60}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{30}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497739

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(AK \bot SC\).

\( \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)\).

Do đó trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AP \bot SC\,\,\left( {P \in SC} \right)\) thì \(\left( {AHK} \right) \cap SC = \left\{ P \right\}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 3{a^2}}} = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2} + A{D^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + 3{a^2}}} = \dfrac{1}{5}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\dfrac{{{V_{S.AHP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{10}}\) \( \Rightarrow {V_{S.AHP}} = \dfrac{1}{{20}}{V_{S.ABCD}}\).

\(\dfrac{{{V_{S.APK}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{20}}\) \( \Rightarrow {V_{S.AHP}} = \dfrac{1}{{40}}{V_{S.ABCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{S.AHPK}} = {V_{S.AHP}} + {V_{S.APK}} = \dfrac{3}{{40}}{V_{S.ABCD}}\).

Mà \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.a.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({V_{S.AHPK}} = \dfrac{3}{{40}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{40}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.