Trong không gian\(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( { - 2;1; - 3} \right)\). Xét
Trong không gian\(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( { - 2;1; - 3} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 1.\) Gía trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Chỉ ra \(A\) và \(B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)
Lấy \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(\left( {Oxy} \right).\)
Từ đó lập luận, biến đổi để tìm được giá trị lớn nhất của \(P = \left| {AM - BN} \right|\).
Ta thấy \({z_A}.{z_B} < 0\) nên \(A,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)
Gọi \(B'\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow B'\left( { - 2;1;3} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B'\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow H\left( { - 2;1;0} \right)\)
Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {1; - 3;0} \right)\)
Suy ra \(HI = 5\)
Khi đó \(P = \left| {AM - BN} \right| = \left| {AM - B'N} \right|\) \(\left( 1 \right)\)
Gọi \({A_1}\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B'} = \overrightarrow {MN} \)
Do \(MN = 1\) nên \({A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(B'\) bán kính bằng \(1.\)
Khi đó \({A_1}B'NM\) là hình bình hành \( \Rightarrow B'N = {A_1}M\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(P = \left| {{A_1}M - AM} \right| \le {A_1}A\)
\( \Rightarrow {P_{\max }} = {A_1}A\) khi \({A_1},A,M\) thẳng hàng với \(M\) là giao điểm của \({A_1}A\) và \(\left( {Oxy} \right)\)
Khi đó \({A_1}A\) có giá trị lớn nhất khi \({A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(B'\) bán kính bằng \(1.\)
\({P_{\max }} = {A_1}A\) max \( = \sqrt {K{A^2} + {A_1}{K^2}} \)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'H = 3\\d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow AK = 1\)
Và \({A_1}K = B'{A_1} + B'K = {A_1}B' + HI = 1 + 5 = 6\)
\( \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {{1^2} + {6^2}} = \sqrt {37} \)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
