Hoàn thành bài tập sau:a) Gọi \(A = {n^2} + n + 1\) (với \(n \in \mathbb{N}\)). Chứng tỏ rằng \(A\)

Câu hỏi số 500280:

Vận dụng cao

Hoàn thành bài tập sau:

a) Gọi \(A = {n^2} + n + 1\) (với \(n \in \mathbb{N}\)). Chứng tỏ rằng \(A\) không chia hết cho \(4\).

b) Chứng tỏ rằng: Với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(B = {3^{n + 3}} + {2^{n + 3}} + {3^{n + 1}} + {2^{n + 2}}\) chia hết cho \(6\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:500280

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(A\) không chia hết cho \(2\) thì \(A\) không chia hết cho \(6\).

b) Áp dụng tính chất chia hết của một tổng.

Giải chi tiết

Ta có: \(A = {n^2} + n + 1 = n\left( {n + 1} \right) + 1\)

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên \(n + 1 \in \mathbb{N}\). Do đó, \(n\) và \(n + 1\) là hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(2\) nên \(n\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(2\).

Mà \(1\) không chia hết cho \(2\) nên \(n\left( {n + 1} \right) + 1\) không chia hết cho \(2\).

\( \Rightarrow \)\(A\) không chia hết cho \(4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = {3^{n + 3}} + {2^{n + 3}} + {3^{n + 1}} + {2^{n + 2}}\\\,\,\,\,\, = \left( {{3^{n + 3}} + {3^{n + 1}}} \right) + \left( {{2^{n + 3}} + {2^{n + 2}}} \right)\\\,\,\,\,\, = {3^{n + 1}}\left( {{3^2} + 1} \right) + {2^{n + 2}}\left( {2 + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = {3^{n + 1}}.10 + {2^{n + 2}}.3\\\,\,\,\,\, = {5.6.3^n} + {6.2^{n + 1}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B\) chia hết cho \(6\) với mọi số tự nhiên \(n\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link