Chứng minh rằng:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi:502232

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

Giải chi tiết

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là \(n,n + 1,n + 2,n + 3\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\)

Ta có: \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1 = n\left( {n + 3} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 1 = \left( {{n^2} + 3n} \right)\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) + 1\,\,\left( * \right)\)

Đặt: \({n^2} + 3n = t\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

Khi đó, \(\left( * \right)\) trở thành: \(t\left( {t + 2} \right) + 1 = {t^2} + 2t + 1 = {\left( {t + 1} \right)^2} = {\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2}\)

Vì \(n \in \mathbb{N} \Rightarrow \left( {{n^2} + 3n + 1} \right) \in \mathbb{N}\)

Vậy \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1\) là một số chính phương hay Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Tích của 3 số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên

Xem lời giải

Câu hỏi:502233

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

Giải chi tiết

Gọi 3 số nguyên dương liên tiếp lần lượt là: \(n,n + 1,n + 2\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có: \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {n + 2} \right) + 1 = {n^3} + 2{n^2} + {n^2} + 2n = {n^3} + 3{n^2} + 2n\)

Mặt khác, \({n^3} < {n^3} + 3{n^2} + 2n < {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1\)

\( \Leftrightarrow {n^3} < {n^3} + 3{n^2} + 2n < {\left( {n + 1} \right)^3}\,\,\left( * \right)\)

Vì \(n\) là số nguyên dương nên \(\left( * \right)\) suy ra \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) không là lập phương của một số tự nhiên hay tích của 3 số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link