Cho \(x + y + z = 0\). Chứng minh rằng: \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\)

Câu hỏi số 502234:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502234

Phương pháp giải

Dựa vào điều kiện: \(x + y + z = 0\) ta có: \(z = - x - y\)

Thay \(z = - x - y\) và \({x^3} + {y^3} + {z^3}\) sau đó áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3AB + {B^3}\) khai triển, rút gọn ta được \(3xyz\)

Giải chi tiết

Ta có: \(x + y + z = 0 \Leftrightarrow z = - x - y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = {x^3} + {y^3} + {\left( { - x - y} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = {x^3} + {y^3} - {\left( {x + y} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = {x^3} + {y^3} - \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = {x^3} + {y^3} - {x^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} - {y^3}\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = - 3xy\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xy\left( { - x - y} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\) (đpcm)

Vậy với \(x + y + z = 0\) ta có \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link