Trong một buổi tập thể lực, hai vận động viên A và B chạy vòng quanh trên một con đường MNPQ

Câu hỏi số 502409:

Vận dụng cao

Trong một buổi tập thể lực, hai vận động viên A và B chạy vòng quanh trên một con đường MNPQ có dạng một hình chữ nhật. Họ đồng thời xuất phát tại hai vị trí \({A_0}\) và \({B_0}\) cách nhau một đoạn L nằm trên cạnh MN (hình vẽ). Hai người chạy đuổi nhau theo cùng chiều và có cùng một cách chạy. Khi chạy trên MN hoặc PQ thì chạy với vận tốc có độ lớn là \({v_1}\), khi chạy trên NP hoặc QM thì chạy với vận tốc có độ lớn \({v_2}\). Thời gian chạy trên MN, trên PQ và trên QM là như nhau. Cho \(MQ = 2MN\).

a) Tính tỉ số \(\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) và khoảng cách giữa hai vận động viên A và B khi hai người cùng chạy trên cạnh NP.

b) Tính khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vận động viên A và B trong quá trình chạy trên.

A. \(a)\,\,\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = 2;\,\,d = L;\,\,b)\,\,{d_{\min }} = \dfrac{{2L}}{{\sqrt 5 }};\,\,{d_{\max }} = 2L\).

B. \(a)\,\,\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = 2;\,\,d = 2L;\,\,b)\,\,{d_{\min }} = \dfrac{{2L}}{{\sqrt 5 }};\,\,{d_{\max }} = 2L\).

C. \(a)\,\,\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = 1;\,\,d = L;\,\,b)\,\,{d_{\min }} = \dfrac{{2L}}{{\sqrt 5 }};\,\,{d_{\max }} = 2L\).

D. \(a)\,\,\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = 2;\,\,d = 2L;\,\,b)\,\,{d_{\min }} = L;\,\,{d_{\max }} = 2L\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502409

Phương pháp giải

Thời gian: \(t = \dfrac{S}{v}\)

Định lí Py-ta-go cho tam giác vuông: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Giải chi tiết

a) Thời gian hai vận động viên chạy trên cạnh MQ và MN là:

\(\begin{array}{l}{t_{MQ}} = \dfrac{{MQ}}{{{v_2}}}\\{t_{MN}} = \dfrac{{MN}}{{{v_1}}}\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \({t_{MQ}} = {t_{MN}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{{v_2}}} = \dfrac{{MN}}{{{v_1}}} \Rightarrow \dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = \dfrac{{MQ}}{{MN}}\)

Lại có: \(MQ = 2MN \Rightarrow \dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = \dfrac{{MQ}}{{MN}} = 2\)

Khi B đến N, A cách N một khoảng L

Thời gian để A đến N là: \({t_1} = \dfrac{L}{{{v_1}}}\)

Khi đó trên NP, B đã đi được quãng đường:

\({S_2} = {v_2}.{t_1} = {v_2}.\dfrac{L}{{{v_1}}} = 2L\)

Trên NP, hai người chạy với cùng vận tốc nên khoảng cách luôn không đổi bằng L

b) Nhận xét: Khi đi trên cùng cạnh MN hoặc PQ, khoảng cách giữa hai người luôn không đổi là L

Khi đi trên cùng cạnh NP hoặc QM, khoảng cách giữa hai người luôn không đổi là 2L

→ khoảng cách giữa hai người thay đổi khi hai người chạy trên hai cạnh khác nhau

Giả sử một người đi trên cạnh MN, một người đi trên NP

Ta có hình vẽ:

Ban đầu người B ở vị trí N, người A ở vị trí A₀ cách N một khoảng L

Sau thời gian t, hai người đến vị trí A và B

Quãng đường hai người đi được là:

\(\begin{array}{l}{S_1} = {A_0}A = {v_1}t\\{S_2} = NB = {v_2}t\end{array}\)

Từ hình vẽ ta có:

\(AN = {A_0}N - {A_0}A = L - {v_1}t\)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ANB, khoảng cách giữa hai người là:

\(\begin{array}{l}{d^2} = A{B^2} = A{N^2} + N{B^2} = \left( {L - {v_1}t} \right) + {\left( {{v_2}t} \right)^2}\\ \Rightarrow {d^2} = {v_1}^2{t^2} - 2L.{v_1}t + {L^2} + {\left( {2{v_1}} \right)^2}{t^2}\\ \Rightarrow {d^2} = 5{v_1}^2{t^2} - 2L.{v_1}t + {L^2}\\ \Rightarrow {d^2} = {\left( {\sqrt 5 {v_1}t} \right)^2} - 2.\left( {\sqrt 5 {v_1}t} \right).\dfrac{L}{{\sqrt 5 }} + {\left( {\dfrac{L}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{{4{L^2}}}{5}\\ \Rightarrow {d^2} = {\left( {\sqrt 5 {v_1}t - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{{4{L^2}}}{5}\end{array}\)

Để hai người chạy trên hai cạnh khác nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}0 \le {v_1}t \le L \Rightarrow 0 \le \sqrt 5 {v_1}t \le \sqrt 5 L\\ \Rightarrow 0 - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 {v_1}t - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 L - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow 0 \le {\left( {\sqrt 5 {v_1}t - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} \le {\left( {\sqrt 5 L - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}\\ \Rightarrow 0 \le {\left( {\sqrt 5 {v_1}t - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} \le \dfrac{{16{L^2}}}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{{4{L^2}}}{5} \le {\left( {\sqrt 5 {v_1}t - \dfrac{L}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{{4{L^2}}}{5} \le \dfrac{{16{L^2}}}{5} + \dfrac{{4{L^2}}}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{{4{L^2}}}{5} \le {d^2} \le 4{L^2}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {{d^2}} \right)_{\min }} = \dfrac{{4{L^2}}}{5} \Rightarrow {d_{\min }} = \sqrt {\dfrac{{4{L^2}}}{5}} = \dfrac{{2L}}{{\sqrt 5 }}\)

\({\left( {{d^2}} \right)_{\max }} = 4{L^2} \Rightarrow {d_{\max }} = 2L\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link