Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 4.\) Tìm giá

Câu hỏi số 502605:

Vận dụng cao

Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M = x_1^2 + x_2^2\) với \({x_1};{x_2}\) là hoành độ giao điểm của d và (P).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502605

Phương pháp giải

+) Xét hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.

+) Áp dụng hệ thức Vi-et vào biến đổi biểu thức.

+) Giải và biện luận phương trình.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 4 = {m^2} - 4m + 5\)\( = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)

Suy ra (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};x_1^2} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};x_2^2} \right)\).

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {2m - 4} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 4m + 8 = 4{m^2} - 12m + 12\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {2m} \right)^2} - 2.2m.3 + 9 + 3 = {\left( {2m - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3 khi \(m = \frac{3}{2}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link