Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt và

Câu hỏi số 502651:

Vận dụng

Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt và \(A\) và \(B\,(\)điểm \(O\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O'} \right)).\)Từ một điểm \(M\) trên tia đối của tia \(AB,\) vẽ các tiếp tuyến \(MC,\)\(MD\) với đường tròn \(\left( O \right)\), (\(C,D\) là các tiếp điểm và \(D\) nằm trong đường tròn \(\left( {O'} \right))\). Hai đường thẳng \(AC,AD\) cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(E\) và \(F\) (\(E,F\)không trùng với \(A),\)hai đường thẳng \(CD\) và \(EF\) cắt nhau tại \(I\).

a) Chứng minh tứ giác \(BCEI\) nội tiếp và \(EI.BD = BI.AD\).

b) Chứng minh \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\).

c) Chứng minh khi \(M\) thay đổi trên tia đối của tia \(AB\) thì đường thẳng \(CD\) luôn đi qua một điểm cố định .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502651

Phương pháp giải

Để làm câu a) ta sẽ chứng minh hai góc của tứ giác BCEI cùng một một cung với một góc không đổi.

Để làm câu b) ta sẽ chứng minh \(\frac{{IF}}{{IB}} = \frac{{IE}}{{IB}}\) qua việc sử dụng các cặp tỉ lệ bằng nhau của các tam giác đồng dạng

Để làm câu c) ta sẽ đi dự đoán \(CD\) luôn đi qua điểm \(G\) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A,B\) với đường tròn \(\left( O \right)\)

Giải chi tiết

Xét \(\left( O \right):\widehat {ICB} = \widehat {BAD},\)xét \(\left( {O'} \right):\widehat {BAD} = \widehat {BEF}\)

\( \Rightarrow \widehat {ICB} = \widehat {BEF} \Rightarrow BCEI\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BIF} = \widehat {ACB}\)

Ta có: \(ADBC\)nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BDF} \Rightarrow \widehat {BIF} = \widehat {BDF} \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BIE} & (1)\)

Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {BEI}(2)\). Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \Delta BAD \sim \Delta BIE \Rightarrow BD.IE = BI.AD\).

Ta có: \(\widehat {IFB} = \widehat {BAC} = \widehat {BDC} \Rightarrow IFBD\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IBF} = \widehat {IDF} = \widehat {ADC} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta IFB \sim \Delta CAB\)

Mặt khác: \(\widehat {FIB} = \widehat {FDB} \Rightarrow \widehat {EIB} = \widehat {ADB}\)và \(\widehat {IEB} = \angle DAB \Rightarrow \Delta EIB \sim \Delta ADB\)

Từ đó suy ra \(\frac{{IF}}{{IB}} = \frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{IE}}{{IB}} \Rightarrow IF = IE\).

Gọi \(G\) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A,B\) của đường tròn và \(H\) là giao điểm của \(MO\) với \(CD\). Khi đó \(H\) là trung điểm \(CD\) và \(AGBO\) là tứ giác nội tiếp

Mặt khác, \(OH.OM = O{D^2} = O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow \Delta BOH \sim \Delta MOB \Rightarrow \widehat {BHO} = \widehat {MBO} = \widehat {BAO}\)

\( \Rightarrow AHOB\) nội tiếp hay 5 điểm \(G,A,B,H,O,B\)cùng thuộc một đường tròn \( \Rightarrow \widehat {GHO} = \widehat {GAO} = {90^0},\)

Tức là \(GH \bot OH.\) Mà \(OH \bot DH\) nên \(G,D,H,C\) thẳng hàng. Vậy \(CD\) luôn đi qua điểm \(G\) cố định là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A,B\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link