Hoàn thiện bài sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) và \(y\) thỏa mãn:

\(2021\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) - 2020\left( {2xy + y} \right) = 2022\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502653

Phương pháp giải

Xét các khoảng gía trị của \(y\), sử dụng đánh giá để tìm \(x,y\) thỏa mãn

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}2021\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) - 2020\left( {2xy + y} \right) = 2022\\ \Leftrightarrow 2020{\left( {x - y} \right)^2} + {x^2} + 2022{y^2} - 2020y = 2022\,(1)\\TH1:y \le - 1 \Rightarrow 2022{y^2} - 2022y \ge 4042 \Rightarrow VT > VP\\TH2:y \ge 2 \Rightarrow 2022{y^2} - 2020y > 2022{y^2} - 2022y = 2022y\left( {y - 1} \right) \ge 2022y \ge 4022 \Rightarrow VT > VP\\TH3:y = 0 \Rightarrow 2020{x^2} + {x^2} = 2022 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{2022}}{{2023}} \notin \mathbb{Z}\\TH4:y = 1 \Rightarrow 2020{\left( {x - 1} \right)^2} + 2022 - 2020 + {x^2} = 2022\\ \Leftrightarrow 2021{x^2} - 4040x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{4040}}{{2021}}(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\) thỏa mãn đề bài.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(S = \frac{{\sqrt {2{x^2} - xy + 2{y^2}} }}{{x + y + 2z}} + \frac{{\sqrt {2{y^2} - yz + 2{z^2}} }}{{y + z + 2x}} + \frac{{\sqrt {2{z^2} - zx + 2{x^2}} }}{{z + x + 2y}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502654

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Giải chi tiết

Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - xy + 2{y^2}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - xy + 2{y^2} \ge \frac{3}{4}\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

Vậy \(S \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{{x + y}}{{x + y + 2z}} + \frac{{y + z}}{{2x + y + z}} + \frac{{z + x}}{{x + 2y + z}}} \right)\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\y + z = b\\z + x = c\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)\)

Có \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = \frac{{{a^2}}}{{a\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{b\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{c\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (Cauchy – Schwarz)

Lại có \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Suy ra \(S \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{2} \Rightarrow S \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link