Hoàn thiện bài sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tìm các số nguyên \(n\) để \({n^2} + 2020\)là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi:502663

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp ước số

Giải chi tiết

Gọi \({n^2} + 2020 = {m^2}\,\,\left( {m \in \mathbb{N}*} \right)\)

Khi đó \(\left( {m + n} \right)\left( {m - n} \right) = {2^2}.5.101\)

Ta có: \(\left( {m + n} \right) + \left( {m - n} \right) = 2m\) (hay \(m + n,m - n\) cùng tính chẵn lẻ) và \(m + n > m - n\) nên

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + n = 202\\m - n = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + n = 1010\\m - n = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 106\\n = 96\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m = 506\\n = 504\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({n^2} + 2020\) là số chính phương khi \(n = 96\) hoặc \(n = 504\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng có thể chọn \(3\) số \({a_1},{a_2},{a_3}\) trong \(7\) số nguyên tố phân biệt bất kỳ sao cho \(P = \left( {{a_1} - {a_2}} \right)\left( {{a_1} - {a_3}} \right)\left( {{a_2} - {a_3}} \right)\)chia hết cho 216.

Xem lời giải

Câu hỏi:502664

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet

Giải chi tiết

Có \(216 = {2^3}{.3^3}\)

Trong \(7\) số nguyên tố phân biệt, có ít nhất \(5\) số lớn hơn \(3\). Chọn \(5\) số lớn hơn \(3\) đó, các số trong \(5\) số này chia cho \(3\) có số dư là \(1\) hoặc \(2\). Như vậy, theo Dirichlet thì có ít nhất \(3\) số có cùng số dư khi chia cho \(3\).

Gọi \(3\) số đó là \({a_1},{a_2},{a_3}\), thế thì \(\left( {{a_1} - {a_2}} \right)\left( {{a_1} - {a_3}} \right)\left( {{a_2} - {a_3}} \right)\) chia hết cho \({3^3}\)

Lại có \(3\) số này đều là số lẻ nên \(\left( {{a_1} - {a_2}} \right)\left( {{a_1} - {a_3}} \right)\left( {{a_2} - {a_3}} \right)\) chia hết cho \({2^3}\)

Vậy \(P \vdots 216\)

Hoàn tất chứng minh.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link