Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung \(AB\) không chứa \(C\) và \(I\) là điểm trên đoạn \(MC\) sao cho \(MI = MA\).
1) Chứng minh \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
2) Vẽ đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tiếp xúc với \(\left( O \right)\) tại \(D\) và tiếp xúc với \(AB,AC\) lần lượt tại \(E,F.\)
a) Chứng minh ba điểm \(M,E,D\) thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác \(DIFC\) nội tiếp .
Quảng cáo
1) Ta chứng minh \(AI\) là phân giác góc \(BAC\).
2) a) Ta sẽ chứng minh \(\widehat {ODM} = \widehat {ODE} \Rightarrow M,E,D\) thẳng hàng
b) Đầu tiên, ta chứng minh \(E,I,F\) thẳng hàng, sau đó sử dụng bắc cầu góc để chứng minh tứ giác \(DIFC\) nội tiếp .
- Ta có: \(MA = MI\) nên \(\widehat {MAI} = \widehat {MIA}\)
Mà \(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {IAC}\)
Suy ra \(AI,CI\) là các phân giác trong tam giác \(ABC\) nên \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
- a) Ta có: \(D,O,O'\) thẳng hàng và \(OM{\rm{ // }}O'E\) vì cùng vuông góc \(AB\) nên \(\widehat {MOD} = \widehat {EO'D} \Rightarrow 180^\circ - \widehat {MOD} = 180^\circ - \widehat {EO'D}\)
b) Hoàn toàn tương tự, nếu gọi \(N\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(AC\) của đường tròn \(O\) thì \(D,F,N\) thẳng hàng và \(NA = NI.\)
Có \(\Delta AME \sim \Delta DMA\left( {g.g} \right) \Rightarrow A{M^2} = ME.MD \Rightarrow M{I^2} = ME.MD \Rightarrow \frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MD}}{{MI}}\)
Suy ra \(\Delta MIE \sim \Delta MDI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {MIE} = \widehat {MDI}\)
Tương tự có \(\widehat {NIF} = \widehat {NDI}\)
Suy ra \(\widehat {EIF} = \widehat {EIM} + \widehat {MIN} + \widehat {NIF} = \widehat {MDI} + \widehat {MIN} + \widehat {NIF} = \widehat {MDN} + \widehat {MIN}\)
Lại có \(\widehat {MIN} = \widehat {MIA} + \widehat {NIA} = \widehat {MAI} + \widehat {NAI} = \widehat {MAN}\)
Suy ra \(\widehat {EIF} = \widehat {MDN} + \widehat {MAN} = 180^\circ \Rightarrow E,I,F\) thẳng hàng.
Khi đó, \(\widehat {ICD} = \frac{1}{2}\widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {EO'D} = \widehat {EFD}\)
Suy ra tứ giác \(IFCD\) nội tiếp.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
