Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A(AB < BC),\,\,M\) là trung điểm của \(AC,G\) là trọng tâm của tam
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A(AB < BC),\,\,M\) là trung điểm của \(AC,G\) là trọng tâm của tam giác \(ABM\).
a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh \(OG \bot BM\).
b) Lấy điểm \(N\) trên \(BC\) sao cho \(BN = BA.\)Vẽ \(NK\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\), \(BE\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\), \(KF\) vuông góc với \(BC\) tại \(F\). Tính tỉ số \(\frac{{BE}}{{KF}}\).
Quảng cáo
- Dùng phương pháp cộng góc, ta chứng minh \(\widehat {POG} + \widehat {OPB} = 90^\circ \) với \(P\) là giao điểm của \(BM\) và \(OA.\)
- Sử dụng lượng giác và bắc cầu tỉ số.
- Gọi \(L\) là trung điểm của \(AB,\,\,ML\) cắt \(AO\) tại \(J\), \(I\) là trung điểm \(BC\).
\( \Rightarrow \Delta OLJ \sim \Delta BAI(g.g) & (1)\)
Tam giác \(ABM\) có \(G\) là trọng tâm nên \(LG = \frac{1}{3}LM = \frac{2}{3}LJ & (2)\)
Gọi \(P\) là giao điểm của \(BM\) và \(OA.\) Ta có \(P\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow AP = \frac{2}{3}AI\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \Delta OGJ \sim \Delta BPI \Rightarrow \widehat {POG} + \widehat {OPB} = \widehat {POG} + \widehat {OGJ} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow OG \bot BM\).
- Ta có \(\Delta BEC\) vuông tại \(E \Rightarrow \sin \widehat C = \frac{{BE}}{{BC}}\)
Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat C = \widehat {FBK} \Rightarrow \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{KF}}{{BK}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{KF}} = \frac{{BC}}{{BK}}\left( * \right)\)
Mặt khác \(\Delta BAN\) cân tại \(B\) vì \(BA = BN\), có \(NK,AI\) là 2 đường cao ứng với hai cạnh bên nên \(NK = AI\)
Chứng minh được \(\Delta BKN = \Delta BIA \Rightarrow BK = BI\)
Thay vào (*) ta được \(\frac{{BE}}{{KF}} = \frac{{BC}}{{BI}} = 2\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
