Hoàn thành bài sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Cho các số \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 6.\) Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm: \({x^2} + ax + 1 = 0;\)\({x^2} + bx + 1 = 0;\)\({x^2} + cx + 1 = 0\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502727

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Giải chi tiết

Ba phương trình trên lần lượt có \({\Delta _1} = {a^2} - 4;{\Delta _2} = {b^2} - 4;{\Delta _3} = {c^2} - 4\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 12 \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} - 12 = \frac{{36}}{3} - 12 = 0\) (Cauchy – Schwarz)

Suy ra \({\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} \ge 0\)

Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\)không âm

Vậy ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 + 2bc} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502728

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

\({a^2} + \frac{4}{9} \ge \frac{4}{3}a \Rightarrow 2a \le \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{2}{3}\)và \(2bc \le {b^2} + {c^2}\). Suy ra:

\(A \le \left( {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{2}{3} + 1} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + 1} \right) = \frac{3}{2}\left( {{a^2} + \frac{{10}}{9}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + 1} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\frac{3}{2}\left( {{a^2} + \frac{{10}}{9}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + 1} \right) \le \frac{3}{2}{\left( {\frac{{{a^2} + \frac{{10}}{9} + {b^2} + {c^2} + 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{98}}{{27}} \Rightarrow A \le \frac{{98}}{{27}}\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = c\\{a^2} + \frac{{10}}{9} = {b^2} + {c^2} + 1\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = c = \frac{{\sqrt {10} }}{6}\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của biểu thức \(A = \frac{{98}}{{27}} \Leftrightarrow a = \frac{2}{3};b = c = \frac{{\sqrt {10} }}{6}\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link