Hoàn thành Giải Câu sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Giải phương trình: \(3{x^3} - {x^2} + 2x - 28 + \left( {{x^3} - 4} \right)\sqrt {{x^3} - 7} = 0\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502762

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đối xứng

Giải chi tiết

Phương trình (1) tương đương: \(\left( {{x^3} - 7} \right)\sqrt {{x^3} - 7} + 4\left( {{x^3} - 7} \right) + 3\sqrt {{x^3} - 7} = {x^3} + {x^2} - 2x\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^3} + 4{\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^2} + 3\sqrt {{x^3} - 7} = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) + 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^3} + 4{\left( {\sqrt {{x^3} - 7} } \right)^2} + 3\sqrt {{x^3} - 7} = {\left( {x - 1} \right)^3} + 4{\left( {x - 1} \right)^2} + 3\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(a = \sqrt {{x^3} - 7} ,b = x - 1\left( {a,b \ge 0} \right)\). Thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được :

\(\begin{array}{l}{a^3} + 4{a^2} + 3a = {b^3} + 4{b^2} + 3b \Leftrightarrow {a^3} - {b^3} + 4\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 3\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{a^2} + ab + {b^2} + 4\left( {a + b} \right) + 3} \right] = 0\\Do\,\,\,\,{a^2} + ab + {b^2} + 4\left( {a + b} \right) + 3 > 0 \Rightarrow a = b\end{array}\)

\(\begin{array}{l}a = b \Leftrightarrow \sqrt {{x^3} - 7} = x - 1 \Leftrightarrow {x^3} - 7 = {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,({\rm{do}}\,\,{x^2} + x + 4 > 0)\end{array}\)

Thử lại \(x = 2\) thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4xy - {x^2} = 3y\left( {y + 3} \right)\\\sqrt {{x^2} - 6y + 1} + \sqrt {{y^2} - 2y + 9} = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502763

Phương pháp giải

Phân tích phương trình thứ nhất, sau đó thế xuống phương trình thứ hai. Ta sử dụng phương pháp đánh giá để giải quyết phần còn lại

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4xy - {x^2} = 3y\left( {y + 3} \right)\left( i \right)\\\sqrt {{x^2} - 6y + 1} + \sqrt {{y^2} - 2x + 9} = \frac{8}{3}\left( {ii} \right)\end{array} \right.\)

Điều kiện xác định: \({x^2} - 6y + 1 > 0;{y^2} - 2x + 9 > 0\left( * \right)\)

Với điều kiện trên, ta có phương trình \(\left( i \right)\)tương đương:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4xy - 3x + 3{y^2} + 9y = 0 \Leftrightarrow {x^2} - xy - 3x - 3xy + 3{y^2} + 9y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3y} \right)\left( {x - y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3y\\x = y + 3\end{array} \right.\\TH1:x = y + 3 \Rightarrow \left( {ii} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + 10} + \sqrt {{y^2} - 2y + 3} = \frac{8}{3}\\{\rm{Do}}\,\sqrt {{y^2} + 10} + \sqrt {{y^2} - 2y + 3} = \sqrt {{y^2} + 10} + \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + 2} \ge \sqrt {10} + \sqrt 2 > \frac{8}{3})\end{array}\)

Nên TH1 hệ vô nghiệm.

\(\begin{array}{l}TH2:x = 3y \Rightarrow \left( {ii} \right) \Leftrightarrow \sqrt {9{y^2} - 6y + 1} + \sqrt {{y^2} - 6y + 9} = \frac{8}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y - 3} \right)}^2}} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \left| {3x - 1} \right| + \left| {y - 3} \right| = \frac{8}{3}\left( {iii} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,y < \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {iii} \right) \Leftrightarrow 4 - 4y = \frac{8}{3} \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}(ktm)\\ \bullet \,\,\frac{1}{3} \le y < 3 \Rightarrow \left( {iii} \right) \Leftrightarrow 2y + 2 = \frac{8}{3} \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1(tm)\\ \bullet \,\,y \ge 3 \Rightarrow \left( {iii} \right) \Leftrightarrow 4y - 4 = \frac{8}{3} \Leftrightarrow y = \frac{5}{3}(ktm)\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\frac{1}{3}} \right)\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link