Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \(\left( {2{x^2} + x - {m^2} + 2m - 15}

Câu hỏi số 502764:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \(\left( {2{x^2} + x - {m^2} + 2m - 15} \right)\left( {2{x^2} + 3x - {m^2} + 2m - 14} \right) = 0\)

có \(4\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 3{x_2}{x_3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502764

Phương pháp giải

Nhận đấy phương trình luôn có bốn nghiệm phân biệt, ta tính và sắp xếp thứ tự cho bốn nghiệm đó, sau đó thay trực tiếp vào giả thiết.

Giải chi tiết

Gọi phương trình ban đầu là \(\left( * \right)\). Xét hai phương trình:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + x - {m^2} + 2m - 15 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + 3x - {m^2} + 2m - 14 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Ta có:\({\Delta _{\left( 1 \right)}} = {\Delta _{\left( 2 \right)}} = 8{m^2} - 16m + 121 = 8{\left( {m - 1} \right)^2} + 113 > 0\)

Vậy hai phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Đặt \(T = \sqrt {{\Delta _{\left( 1 \right)}}} = \sqrt {{\Delta _{\left( 2 \right)}}} = \sqrt {8{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 113} \ge \sqrt {113} \)

Phương trình (1) có hai nghiệm \(\frac{{ - 1 \pm T}}{4}\)

Phương trình (2) có hai nghiệm là: \(\frac{{ - 3 \pm T}}{4}\)

Nhận thấy rằng \(\frac{{ - 1 + T}}{4} > \frac{{ - 3 + T}}{4} > 0\)và \(\frac{{ - 3 - T}}{4} < \frac{{ - 1 + T}}{4} < 0.\)Suy ra phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung

Từ đó suy ra phương trình \(\left( * \right)\)có bốn nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = {\left( {\frac{{ - 1 + T}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 1 - T}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3 + T}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3 - T}}{4}} \right)^2} = \frac{{{T^2} + 5}}{4}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \({x_3} > {x_2}\)

Giả sử tồn tại \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 3{x_2}{x_3}\left( {**} \right)\)

\( \Rightarrow 3{x_2}{x_3} = \frac{{{T^2} + 5}}{4} > 0\). Suy ra \({x_2},{x_3}\)cùng dương hoặc cùng âm

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{x_2};{x_3}} \right) = \left( {\frac{{ - 3 + T}}{4};\frac{{ - 1 + T}}{4}} \right)\\\left( {{x_2};{x_3}} \right) = \left( {\frac{{ - 3 - T}}{4};\frac{{ - 1 - T}}{4}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}TH1:{x_2} = \frac{{ - 3 + T}}{4};{x_3} = \frac{{ - 1 + T}}{4}\\ \Leftrightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 3.\frac{{3 + 4T + {T^2}}}{{16}} = \frac{{{T^2} + 5}}{4} \Leftrightarrow 9 + 12T + 3{T^2} = 4{T^2} + 20\\ \Leftrightarrow {T^2} - 2T + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T = 1(ktm\,\,do\,\,T > \sqrt {113} )\\T = 11(tm) \Rightarrow 8{m^2} - 16m + 121 = {T^2} = 121 \Rightarrow 8{m^2} - 16m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}TH2:{x_2} = \frac{{ - 3 - T}}{4},{x_3} = \frac{{ - 1 - T}}{4}\\ \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 3.\frac{{3 - 4T + {T^2}}}{{16}} = \frac{{{T^2} + 5}}{4} \Leftrightarrow 9 - 12T + 3{T^2} = 4{T^2} + 20\\ \Leftrightarrow {T^2} + 12T + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T = - 1\\T = - 11\end{array} \right.(ktm\,\,do\,\,T > 0)\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link