Cho hai số thực \(a,\,\,b\) phân biệt thỏa mãn \({a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b = c\), với \(c\) là một

Câu hỏi số 506047:

Vận dụng

Cho hai số thực \(a,\,\,b\) phân biệt thỏa mãn \({a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b = c\), với \(c\) là một số thực dương. Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{{2021}}{c} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506047

Phương pháp giải

Giải phương trình \({a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b\), tìm ra mối liên hệ của \(a,\,\,b\), thay vào biểu thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

Theo Câu ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} - 2021a + 2021b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - 2021\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 2021} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a + b = 2021\end{array} \right.\end{array}\)

(Trường hợp \(a = b\) loại do giả thiết hai số \(a,\,\,b\) phần biệt).

Khi đó ta có \(b = 2021 - a \Rightarrow ab = a\left( {2021 - a} \right) = - \left( {{a^2} - 2021a} \right) = - c\).

Ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{{2021}}{c} = \frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{{2021}}{c}\).

Thay \(a + b = 2021\), \(ab = - c\) ta có \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{{2021}}{c} = \frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{{2021}}{c} = \frac{{2021}}{{ - c}} + \frac{{2021}}{c} = 0\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link