Cho hai số thực \(a,\,\,b\) phân biệt thỏa mãn \({a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b = c\), với \(c\) là một

Câu hỏi số 506047:

Vận dụng

Cho hai số thực \(a,\,\,b\) phân biệt thỏa mãn \({a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b = c\), với \(c\) là một số thực dương. Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{{2021}}{c} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506047

Phương pháp giải

Giải phương trình \({a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b\), tìm ra mối liên hệ của \(a,\,\,b\), thay vào biểu thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

Theo Câu ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{a^2} - 2021a = {b^2} - 2021b\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} - 2021a + 2021b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - 2021\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 2021} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a + b = 2021\end{array} \right.\end{array}\)

(Trường hợp \(a = b\) loại do giả thiết hai số \(a,\,\,b\) phần biệt).

Khi đó ta có \(b = 2021 - a \Rightarrow ab = a\left( {2021 - a} \right) = - \left( {{a^2} - 2021a} \right) = - c\).

Ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{{2021}}{c} = \frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{{2021}}{c}\).

Thay \(a + b = 2021\), \(ab = - c\) ta có \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{{2021}}{c} = \frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{{2021}}{c} = \frac{{2021}}{{ - c}} + \frac{{2021}}{c} = 0\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link