Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < BC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\) đường

Câu hỏi số 506048:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < BC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AC\). Gọi \(I\) là một điểm thuộc đoạn \(OC\) (\(I\) khác \(O\) và \(C\)). Qua \(I\) kẻ đường vuông góc với \(AC\) cắt \(BC\) tại \(E\) và \(AB\) kéo dài tại \(D\). Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(C\) qua điểm \(I\).

a. Chứng minh rằng các tứ giác \(BDCI\) và \(AKED\) nội tiếp.

b. Chứng minh \(IC.IA = IE.ID\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506048

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau và tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

b) Chứng minh hai góc của hai tương ứng của hai tam giác bằng nhau để suy ra \(\Delta IDC \sim \Delta IAE\,\,\left( {g.g} \right)\) từ đó suy ra điều phải chứng minh

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle ABC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle DBC = {90^0}\).

Xét tứ giác \(BDCI\) có \(\angle DBC = \angle DIC = {90^0}\) \( \Rightarrow \) \(BDCI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

Vì \(BDCI\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle BDI = \angle BCI\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BI\)) (1).

Ta có: \(K\) là điểm đối xứng của \(C\) qua điểm \(I\) (gt) nên \(I\) là trung điểm của \(KC\).

Tam giác \(ECK\) có \(CI\) là đường cao đồng thời là trung tuyến nên \(\Delta ECK\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow \angle ECI = \angle EKC\) (2 góc ở đáy) hay \(\angle BCI = \angle EKC\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle BDI = \angle EKC\).

\( \Rightarrow & AKED\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

b) Vì \(BDCI\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle IDC = \angle IBC\) (3) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(IC\)).

Xét tứ giác \(ABEI\) có: \(\angle ABE + \angle AIE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow ABEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \( \Rightarrow \angle IBE = \angle IAE\) hay \(\angle IBC = \angle IAE\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \angle IDC = \angle IAE\).

Xét tam giác \(IDC\) và \(\Delta IAE\) có:

\(\begin{array}{l}\angle DIC = \angle AIE = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\\angle IBC = \angle IAE\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta IDC \sim \Delta IAE\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{ID}}{{IA}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow IC.IA = IE.ID\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link