Cho tam giác \(ABC\)đều có diện tích \(36\,\,c{m^2}\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt nằm trên ba

Câu hỏi số 506049:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\)đều có diện tích \(36\,\,c{m^2}\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt nằm trên ba cạnh \(AB,\,\,\,BC,\,\,\,CA\) sao cho \(MN \bot BC,\,\,NP \bot AC,\,\,PM \bot AB\). Chứng tỏ tam giác \(MNP\)đều và tính diện tích tam giác \(MNP\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506049

Phương pháp giải

+ Chứng minh tam giác \(MNP\)có \(\angle MNP = \angle MPN = \angle NMP = {60^0}\)

+ Chia tam giác \(ABC\) thành 4 tam giác \(\Delta BMN\), \(\Delta APM,\,\,\Delta CNP\), \(\Delta MNP\) để tính diện tích của tam giác \(ABC\)

Giải chi tiết

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = {60^0}\).

Ta có tam giác \(BMN\)vuông tại \(N\)nên \(\angle NMB + \angle NBM = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle NMB = {90^0} - \angle NBM = {30^0}\).

Vì \(PM \bot AB \Rightarrow \angle BMP = \angle {90^0}\) nên \(\angle NMB + \angle NMP = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle NMP = {90^0} - \angle NMB = {90^0} - {30^0} = {60^0}\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\angle MNP = {60^0},\,\,\angle MPN = {60^0}\).

Tam giác \(MNP\)có \(\angle MNP = \angle MPN = \angle NMP = {60^0}\) nên tam giác \(MNP\) là tam giác đều (định nghĩa).

Xét \(\Delta BMN\), \(\Delta APM,\,\,\Delta CNP\) có:

\(\begin{array}{l}\angle BNM = \angle AMP = \angle CPN = {90^0}\\\angle BMN = \angle APM = \angle CNP = {30^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\(MN = MP = PN\) (do tam giác \(MNP\) đều – cmt)

\( \Rightarrow \Delta BMN = \Delta APM = \Delta CNP\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

\( \Rightarrow \) \({S_{\Delta BMN}} = {S_{\Delta AMP}} = {S_{\Delta CNP}}\).

Xét tam giác vuông \(BMN\)có \(\tan \angle NBM = \frac{{MN}}{{NB}} \Rightarrow \tan {60^0} = \frac{{MN}}{{NB}} \Rightarrow NB = \frac{{MN}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{MN}}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó ta có: \({S_{\Delta BMN}} = \frac{1}{2}MN.BN = \frac{1}{2}.MN.\frac{1}{{\sqrt 3 }}.MN = \frac{{\sqrt 3 }}{6}M{N^2}\).

Vì tam giác \(MNP\) đều nên \({S_{\Delta MNP}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}M{N^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{\Delta BMN}} + {S_{\Delta AMP}} + {S_{\Delta CNP}} + {S_{\Delta MNP}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3.{S_{\Delta BMN}} + {S_{\Delta MNP}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3.\frac{{\sqrt 3 }}{6}M{N^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}M{N^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}M{N^2}\end{array}\)

Mà \({S_{ABC}} = 36\) suy ra \(36 = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}M{N^2} \Rightarrow M{N^2} = 16\sqrt 3 \).

Vậy \({S_{\Delta MNP}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}M{N^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.16\sqrt 3 = 12\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link