Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(E\) là điểm
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(E\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\).
a) Chứng minh \(\angle CAE = \angle BCE\) .
b) Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(EM = EC\) (\(M\) khác \(C\)); \(N\) là giao điểm của \(BM\) với đường tròn tâm \(O\) (\(N\) khác \(B\)). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) với \(AE\); \(K\) là giao điểm của \(AC\) với \(EN\). Chứng minh tứ giác \(EKMI\) nội tiếp.
Quảng cáo
a) Vận dụng mối quan hệ góc nội tiếp trong đường tròn
b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh \(\angle EKM + \angle EIM = {180^0}\)
a) Vì \(E\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\) nên \(sdcBE = sdcCE\).
\( \Rightarrow \angle CAE = \angle BCE\) (trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
b) Vì \(EM = EC\,\,\left( {gt} \right)\), mà \(EB = EC\,\,\left( {do\,\,sdcEB = sdcEC} \right)\) \( \Rightarrow EB = EM\).
\( \Rightarrow \Delta EBM\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \angle EBM = \angle EMB\) (2 góc ở đáy).
Ta có: \(\angle EBM + \angle ECN = {180^0}\) (2 góc đối diện của tứ giác nội tiếp \(BECN\))
\(\angle EMB + \angle EMN = {180^0}\) (kề bù)
\( \Rightarrow \angle ECN = \angle EMN\).
Lại có \(\angle ENC = \angle ENM\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ECN + \angle ENC = \angle EMN + \angle ENM\\ \Rightarrow {180^0} - \angle CEN = {180^0} - \angle MEN\\ \Rightarrow \angle CEN = \angle MEN\end{array}\)
\( \Rightarrow EK\) là phân giác của \(\angle MEC\).
Mà tam giác \(EMC\) cân tại \(E\,\,\left( {EM = EC} \right)\) nên \(EK\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow EK \bot MC\).
\( \Rightarrow \angle EKM = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle EAK + \angle AEK = {90^0}\).
Mà \(\angle EAK = \angle EAC = \angle BNE\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle BNE + \angle AEK = {90^0} \Rightarrow \angle BNI + \angle IEN = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle EIN\) vuông tại \(I\).
\( \Rightarrow \angle EIN = {90^0} \Rightarrow \angle EIM = {90^0}\).
Xét tứ giác \(EKMI\) có: \(\angle EKM + \angle EIM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Vậy \(EKMI\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
