Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2021\). Tìm giá trị lớn nhất và

Câu hỏi số 506573:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2021\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506573

Phương pháp giải

+ Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng BĐT Buniacopxki cho ba số \(\sqrt {a + b} \), \(\sqrt {b + c} \), \(\sqrt {c + a} \)

+ Tìm giá trị nhỏ nhất: lập luận từ giả thiết để chứng minh \(\sqrt {a + b} \ge \frac{{a + b}}{{\sqrt {2021} }}\), \(\sqrt {b + c} \ge \frac{{b + c}}{{\sqrt {2021} }},\)\(\sqrt {c + a} \ge \frac{{c + a}}{{\sqrt {2021} }}\) sau đó cộng vế với vế, nhóm các hạng tử chung lại với nhau để có điều phải chứng minh

Giải chi tiết

* Tìm giá trị lớn nhất

Ta có: \(P = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \)

\( \Rightarrow {P^2} = {\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)^2} \le 3\left( {a + b + b + c + c + a} \right) = 6.2021 = 12126\) (BĐT Buniacopxki)

\( \Rightarrow {P^2} \le 12126 \Leftrightarrow P \le \sqrt {12126} \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2021 - c = 2021 - a = a + c \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\2021 - a = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = c = \frac{{2021}}{3} = b\).

Vậy \({P_{\max }} = \sqrt {12126} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{{2021}}{3}\).

* Tìm giá trị nhỏ nhất

Ta có: \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm và \(a + b + c = 2021\) nên \(a + b \le 2021\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} \ge \frac{1}{{2021}} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2021}} \Leftrightarrow a + b \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2021}} \Leftrightarrow \sqrt {a + b} \ge \frac{{a + b}}{{\sqrt {2021} }}\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\sqrt {b + c} \ge \frac{{b + c}}{{\sqrt {2021} }},\,\,\sqrt {c + a} \ge \frac{{c + a}}{{\sqrt {2021} }}\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \ge \frac{1}{{\sqrt {2021} }}\left( {a + b + b + c + c + a} \right)\\ \Rightarrow P \ge \frac{2}{{\sqrt {2021} }}\left( {a + b + c} \right) = \frac{2}{{\sqrt {2021} }}.2021 = 2\sqrt {2021} \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 2021\\a = c = 0,\,\,b = 2021\\b = c = 0,\,\,a = 2021\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\min }} = 2\sqrt {2021} \) khi \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 2021\\a = c = 0,\,\,b = 2021\\b = c = 0,\,\,a = 2021\end{array} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link