Hoàn thành bài sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh rằng tổng các bình phương \(6\) số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi:506882

Phương pháp giải

a) Chứng minh tích của 3 số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho 4, tích của 3 số nguyên lẻ chia 4 dư 3.

Giải chi tiết

a) *Trước hết chúng ta chứng minh số chứng phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1.

+ Nếu n là số chẵn \( \Rightarrow n = 2k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow {n^2} = 4{k^2} \vdots 4\)

+ Nếu n là số lẻ \( \Rightarrow n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow {\left( {n + 1} \right)^2} = {\left( {2k + 1} \right)^2} = 4{k^2} + 4k + 1 \vdots 4\) chia 4 dư 1

*Chứng minh tổng các bình phương 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương.

Trong 6 số nguyên liên tiếp luôn có 3 số nguyên chẵn và 3 số nguyên lẻ.

Bình phương của mỗi số nguyên chẳn chia hết cho 4 (cmt) \( \Rightarrow \) Tổng bình phương 3 số nguyên chẵn chia hết cho 4.

Bình phương của mỗi số nguyên lẻ chia 4 dư 1 (cmt) Tổng bình phương 3 số nguyên lẻ chia cho 4 dư 1.

Do đó tổng các bình phương 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1.

Vậy tổng các bình phương 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương (đpcm)

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình \({x^2}y + 2xy + y = 32x\)

Xem lời giải

Câu hỏi:506883

Phương pháp giải

b) Biến đổi \(y\) theo \(x\), sử dụng Giải Câu toán chia hết, ước chung

Giải chi tiết

b) Nhận thấy

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2}y + 2xy + y = 32x\\ \Leftrightarrow y\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 32x\\ \Leftrightarrow y{\left( {x + 1} \right)^2} = 32x\end{array}\)

Ta thấy \(x = - 1\) không phải là nghiệm trên \( \Rightarrow y = \frac{{32x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Lại có \({\left( {x + 1} \right)^2} = x\left( {x + 2} \right) + 1\) suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2}\) và \(x\) nguyên tố cùng nhau

Nên để \(y\) nguyên dương khi và chỉ khi \(32 \vdots {\left( {x + 1} \right)^2}\)

Vì \(x\) nguyên dương nên \(x + 1\) nguyên dương và \(x + 1 \ge 2\) \( \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 4\).

Từ đây ta có \({\left( {x + 1} \right)^2} \in \left\{ {4;16} \right\} \Rightarrow x + 1 \in \left\{ {2;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {1;3} \right\}\)

Với \(x = 1\) ta có \(y = 8\) (tm).

Với \(x = 3\) ta có \(y = 6\) (tm).

Vậy các cặp số nguyên dương thỏa mãn là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;8} \right),\,\,\left( {3;6} \right)} \right\}\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link