Cho hình vuông \(ABCD\) và điểm \(E\) nằm trên cạnh \(BC\) biết \(AB = 4cm\), \(BE = \frac{3}{4}BC\). Tia

Câu hỏi số 506884:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) và điểm \(E\) nằm trên cạnh \(BC\) biết \(AB = 4cm\), \(BE = \frac{3}{4}BC\). Tia \(Ax\) vuông góc với \(AE\) tại \(A\) cắt tia \(CD\) tại \(F\).

a) Tính diện tích tam giác \(AEF\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\), tia \(AI\) cắt cạnh \(CD\) tại \(K\). Chứng minh \(A{E^2} = KF.CF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506884

Phương pháp giải

a) \(\Delta AEF\) vuông tại cân \(A \Rightarrow AF = AE\), tính \(AE\) bằng cách sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABE\) .

b) \(\Delta FIK \sim \Delta FCE\,\left( {g.g} \right)\) suy ra các tỉ lệ thức tương ứng, kết hợp với \(AF = AE\) (cma)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {A_1} + \angle EAD = \angle BAD = {90^0}\\\angle EAD + \angle {A_2} = \angle EAF = {90^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADF\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ABE = \angle ADF = {90^0}\\\angle {A_1} = \angle {A_2}\,\,\left( {cmt} \right)\\AB = AD\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta ADF\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

\( \Rightarrow AE = AF\) (2 cạnh tương ứng).

Theo Giải Câu ra ta có \(BE = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4}.4 = 3\,\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABE\) ta có

\(\begin{array}{l}A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\\ \Rightarrow A{E^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow AE = \sqrt {25} = 5\,\,\left( {cm} \right) = AF\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta AEF}} = \frac{1}{2}AE.AF = \frac{1}{2}.5.5 = \frac{{25}}{2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

b) Ta có \(AE = AF\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại \(A\).

Lại có \(AI\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AI \bot EF\).

Xét \(\Delta FIK\) và \(\Delta FCE\) có:

\(\begin{array}{l}\angle FIK = \angle FCE = {90^0}\\\angle EFC\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta FIK \sim \Delta FCE\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{KF}}{{EF}} = \frac{{IF}}{{CF}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow KF.CF = EF.IF\,\,\,\left( 1 \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AEF\), đường cao \(AI\) ta có: \(A{F^2} = EF.IF = A{E^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(A{E^2} = KF.CF\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link