Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) \(C = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) b) \(D

Câu hỏi số 506914:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) \(C = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)

b) \(D = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:506914

Phương pháp giải

Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa, thực hiện phép chia, biến đổi đưa về hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2},{\left( {A - B} \right)^2}\)

Giải chi tiết

a) \(C = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)

C xác định \( \Leftrightarrow \)\({x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}C = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x - 1} \right) + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x - 1}} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 2 \cdot \frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\\\,\,\,\,\, = {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là \(\frac{3}{4}\) khi \(\frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(x = 3\)(tmđk)

b) \(D = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)

D xác định \( \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 5 \ne 0\)

\(D = \frac{{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4 + 2} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\\ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)}^2} + 2\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\\ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 5x + 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 5x + 5}}\\ = {x^2} + 5x + 5\\ = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + \frac{{25}}{4} - \frac{5}{4}\\ = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\end{array}\)

Vì \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge - \frac{5}{4},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của D là \(\frac{{ - 5}}{4}\) khi \(x = \frac{{ - 5}}{2}\). Giá trị này của x thỏa mãn \({x^2} + 5x + 5 \ne 0\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link