Cho \(n \in \mathbb{N}\) và \(n - 1\) không chia hết cho \(4\). Chứng minh rằng \({7^n} + 2\) không thể là

Câu hỏi số 507170:

Vận dụng cao

Cho \(n \in \mathbb{N}\) và \(n - 1\) không chia hết cho \(4\). Chứng minh rằng \({7^n} + 2\) không thể là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507170

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Số tự nhiên \(A\) không phải là số chính phương nếu :

+ \(A\) có chữ số tận cùng là \(2,\,\,3,\,\,7,\,\,8\)

+ \(A\) có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn;

+ \(A\) có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ;

+ \(A\) có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2;

+ \(A\) có hai chữ số tận cùng là lẻ.

Giải chi tiết

Do \(n - 1\) không chia hết cho \(4\) nên \(n = 4k + r\left( {r \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,3} \right\}} \right)\).

Ta có:

\({7^n} + 2 = {7^{4k + {\rm{ }}r}} + 2 = {7^{4k}}{.7^r} - {7^r} + {7^r} + 2 = {7^r}.\left( {{7^{4k}} - 1} \right) + {7^r} + 2\)

\( \Rightarrow \) Hai chữ số tận cùng của \({7^n} + 2\) là hai chữ số tận cùng của \({7^r} + 2\).

Mà \(r \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,3} \right\}\) nên hai chữ số tận cùng của \({7^r} + 2\) chỉ có thể là \(03,\,\,51,\,\,45\).

Theo các tính chất trên suy ra \({7^r} + 2\) không thể là số chính phương khi \(n - 1\) không chia hết cho \(4\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link