Cho tam giác ABC vuông tại A (\(AB < AC\)) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng đường thẳng d

Câu hỏi số 507346:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A (\(AB < AC\)) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng đường thẳng d đi qua A song song với BC, đường thẳng d^’ qua C song song BA, gọi D là giao điểm của d và d^’. Dựng AE vuông góc với BD (E nằm trên BD), F là giao điểm của BD với đường tròn (O). Chứng minh:

1) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp được trong đường tròn.

2) \(\angle AOF = 2\angle CAE\)

3) Tứ giác AECF là hình bình hành.

4) \(DF.DB = 2A{B^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507346

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

2) Vận dụng tính của góc trong tứ giác nội tiếp và góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung.

3) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.

4) Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

1) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và nội tiếp \(\left( O \right)\) nên \(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\CD//AB\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AC \bot CD\) (từ vuông góc đến song song) \( \Rightarrow \angle ACD = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AECD\) có: \(\angle AED = \angle ACD = {90^0}\) \( \Rightarrow AECD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

2) Do tứ giác \(AECD\) nội tiếp (cmt) nên: \(\angle CAE = \angle CDE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\))

Mà \(\angle CDE = \angle ABF\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle CAE = \angle ABF\).

Mặt khác: \(\angle AOF = 2\angle ABF\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\))

\( \Rightarrow \angle AOF = 2\angle CAE\) (đpcm).

3) Do tứ giác \(AECD\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên: \(\angle ACE = \angle ADE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).

Ta có: \(\angle ADE = \angle DBC\) (so le trong do \(AD//BC\)) \( \Rightarrow \angle ACE = \angle DBC\).

Mà \(\angle DBC = \angle FBC = \angle FAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FC\))

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle FAC\). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AF//EC\) (dhnb) (1)

Mặt khác: \(\angle CFE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CF \bot FE\) hay \(CF \bot BD\).

Mà \(AE \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(AE//CF\) (từ vuông góc đến song song) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

4) Gọi \(\left\{ T \right\} = AC \cap BD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AD//BC\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow ABCD\) là hình bình hành (dhnb) \( \Rightarrow TA = TC,\,\,TB = TD\) và \(AB = CD\) (tính chất).

Xét \(\Delta DCT\) vuông tại \(C\) có \(CF \bot BD\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CF \bot DT\) \( \Rightarrow CF\) là đường cao nên:

\(C{D^2} = DF.DT\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow 2.C{D^2} = 2.DF.DT = \left( {2.DT} \right).DF = DB.DF\).

Mà \(AB = CD\) (cmt).

Vậy \(DF.DB = 2A{B^2}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link