Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đường chéo \(AC\). Gọi \(E,F\) theo thứ tự là hình

Câu hỏi số 507487:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đường chéo \(AC\). Gọi \(E,F\) theo thứ tự là hình chiếu của \(M\) trên \(AD,CD\). Chứng minh rằng:

a) \(BM \bot EF\);

b) Các đường thẳng \(BM,AF,CE\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507487

Phương pháp giải

a) Vận dụng tính chất của hình vuông, hình chữ nhật và mối liên hệ giữa hai hình.

b) Sử dụng các tính chất của của góc trong tam giác, tính chất ba đường cao trong một tam giác.

Giải chi tiết

a) Gọi \(K\) là giao điểm của \(EM\) và \(BC\)

\(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(EF\)

\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AD//BC,CA\) là tia phân giác của \(\angle C\);\(AC\) là phân giác của \(\angle A\)

Ta có: \(EK \bot AD\) mà \(AD//BC\) nên \(EK \bot BC \Rightarrow \angle EKC = {90^0}\)

Tứ giác \(MKCF\) có: \(\angle MFC = \angle MKC = \angle FCK = {90^0}\) nên \(MKCF\) là hình chữ nhật

Lại có \(CA\) là tia phân giác của \(\angle C\)

\( \Rightarrow MKCF\) là hình vuông

\( \Rightarrow MK = MF\) và \(\angle KMF = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle EMF = {90^0}\) (hai góc \(\angle KMF;\angle EMF\) bù nhau)

Có \(AC\) là phân giác của \(\angle A\)\( \Rightarrow \angle EAM = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)

\(\Delta AEM\) vuông tại \(E\) có \(\angle EAM = {45^0}\) nên \(\Delta AEM\) vuông cân tại \(E \Rightarrow AE = EM\) (1)

Tứ giác \(ABKE\) là hình chữ nhật vì \(\angle A = \angle B = \angle ABK = \angle AEK = {90^0}\)\( \Rightarrow AE = BK\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(BK = EM\)

Xét \(\Delta MEF\) và \(\Delta KBM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}EM = BK\\\angle EMF = \angle MKB = {90^0}\\MF = MK\end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow \Delta MEF = \Delta KBM\left( {c.g.g} \right)}\\{ \Rightarrow \angle MEF = \angle KBM\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\)

Ta có: \(\angle MFE = \angle KMB\)

\( \Rightarrow \angle MEF + \angle EMH = \angle KBM + \angle EMH\)

\( \Rightarrow \angle MEF + \angle EMH = \angle KBM + \angle BMK\) (vì \(\angle EMH\) và \(\angle BMK\) là hai góc đối đỉnh nên \(\angle EMH = \angle BMK\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle MEF + \angle EMH = \angle BKM = {90^0}\\ \Rightarrow \angle EHM = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow BM \bot EF\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link