Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn, đường cao \(AH,BH,CL\) cắt nhau tại \(I\). Gọi \(D,E,F\) là trung

Câu hỏi số 507629:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn, đường cao \(AH,BH,CL\) cắt nhau tại \(I\). Gọi \(D,E,F\) là trung điểm của \(BC,CA,AB\). Gọi \(P,R,Q\) là trung điểm của \(IA,IB,IC\).

a) Chứng minh: \(PFDR,PEQD\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng: \(PD,QE,RF\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507629

Phương pháp giải

a) Dựa vào định lý đường trung bình của tam giác để chứng minh được các cạnh \(PR = DF\) và \(PR\)//\(DF \Rightarrow PFDR\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

Lại có: \(PF\)//\(BK,BK \bot AC,AC\)//\(PR\) nên \(PFDR\) là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự với tứ giác \(PQDE\).

b) Vận dụng tính chất của hình chữ nhật: hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABI\) có: \(F,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,IA\)

\( \Rightarrow FP\) là đường trung bình của \(\Delta ABI\)

\( \Rightarrow FP\)//\(BI\)\( \Rightarrow FP\)//\(BK\)

Mà \(BK \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow FP \bot AC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ACI\) có: \(P,R\) lần lượt là trung điểm của \(AI,AC\)

\( \Rightarrow PR\) là đường trung bình của \(\Delta ACI\)

\( \Rightarrow PR\)//\(AC;PR = \frac{1}{2}AC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(FP \bot PR\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta ABC\) có \(F,D\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\)

\( \Rightarrow DF\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow DF\)//\(AC;DF = \frac{1}{2}AC\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (2) và (3), suy ra \(PR//DF;PR = DF\) nên \(PRDF\) là hình bình hành.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}PF//BK\\BK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow PF \bot AC\) mà \(AC\)//\(PR\)

\( \Rightarrow PF \bot PR\)\( \Rightarrow \angle FPR = {90^0}\)

Hình bình hành \(PRDF\) có \(\angle FPR = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

\(PQ//DE//AB;PQ = DE = \frac{1}{2}AB\)nên \(PEDQ\) là hình bình hành và \(\left. \begin{array}{l}PE//CL\\CL \bot AB\\AB//PQ\end{array} \right\} \Rightarrow PE \bot PQ\)

Do đó, \(PEDQ\) là hình chữ nhật.

b) \(PEDQ\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo \(PD\) và \(EQ\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của \(PD\) và \(EQ\)

Lại có \(PFDR\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo \(PD\) và \(FR\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của \(PD\) và \(FR\).

Do đó, \(O\) là trung điểm của các đoạn thẳng \(PD,FR,EQ\)

Vậy ba đường thẳng \(PD,FR,EQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link