Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y }

Câu hỏi số 507730:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)).

A. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1; - 1} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1; - 1} \right);\left( {\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2};\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507730

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của hệ phương trình

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)

Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x,\,\,y \ge 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 3y = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + 3\sqrt y \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y - 4} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \sqrt y \\\sqrt x + 3\sqrt y = 4\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(\sqrt x = \sqrt y \) \( \Leftrightarrow x = y\). Thay vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + x - {x^2} + x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x - {x^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 1 - \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 2x - 5} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = y\\x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2} = y\,\,\left( {do\,\,x,y \ge 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 3\sqrt y = 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\).

Đặt \(\sqrt x = a,\,\,\sqrt y = b\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 4 \Leftrightarrow b = \frac{{4 - a}}{3}\\\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + ab - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Thế \(b = \frac{{4 - a}}{3}\) vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {\frac{{4 - a}}{3}} \right)}^2} + a.\frac{{4 - a}}{3} - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).\frac{{16 - 8a + {a^2} + 12a - 3{a^2} - 9{a^4} + 9{a^2}}}{9} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( { - 9{a^4} + 7{a^2} + 4a + 16} \right) = 32\\ \Leftrightarrow 9{a^6} + 2{a^4} - 4{a^3} - 23{a^2} - 4a + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {9{a^4} + 18{a^3} + 29{a^2} + 36a + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\left( {do\,\,a \ge 0} \right) \Rightarrow b = \frac{{4 - 1}}{3} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\\\sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link