Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao

Câu hỏi số 507729:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) (\(D \in BC\), \(E \in AC\) và \(F \in AB\)) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CF\) và \(DE\). Chứng minh rằng \(DN.EF = HF.CN.\)

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Chứng minh \(\angle OAM = \angle DAP\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507729

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.

b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.

c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) (do \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\))

\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) Ta có \(\angle CDH = \angle CEH = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CDH + \angle CEH = {180^0}\) nên \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

\( \Rightarrow \angle DCN = \angle NEH\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).

Xét tam giác \(\Delta DCN\) và \(\Delta HEN\) ta có:

\(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle DNC = \angle HNE\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta DCN\) đồng dạng với \(\Delta HEN\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{DN}}{{NC}} = \frac{{HN}}{{EN}}\) (hai cạnh tương ứng) (1)

Ta có \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle DCN = \angle HEF\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).

Mà \(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle NEH = \angle HEF\) hay \(EH\) là tia phân giác của \(\angle NEF\).

\( \Rightarrow \frac{{HN}}{{EN}} = \frac{{HF}}{{EF}}\) (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) ta được \(\frac{{DN}}{{NC}} = \frac{{HF}}{{EF}} \Leftrightarrow DN.EF = HF.CN\) (đpcm)

c) Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Mà \(BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OM//AD \Rightarrow OP//AD\)

\( \Rightarrow \angle DAP = \angle APO\) (so le trong) (3)

Mặt khác ta có: \(PB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(OB \bot BP \Rightarrow \angle OBP = {90^0}\) (định nghĩa).

Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác \(OPB\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường cao ta có \(O{B^2} = OM.OP\).

Mà \(O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow O{A^2} = OM.OP \Rightarrow \frac{{OM}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OP}}\).

Xét tam giác \(\Delta OAM\) và \(\Delta OPA\) ta có:

\(\angle AOP\) chung;

\(\frac{{OM}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OP}}\,\,\left( {cmt} \right);\)

\( \Rightarrow \Delta OAM\) đồng dạng với \(\Delta OPA\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OPA\) (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\angle OAM = \angle DAP\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link