Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1}

Câu hỏi số 507742:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)}}{{a + \sqrt a }}} \right):\left( {\frac{{a + 2}}{{a - 2}}} \right)\) với \(a > 0,\,\,a \ne 2,\,\,a \ne 1\). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(a\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:507742

Phương pháp giải

Rút gọn biểu thức, áp dụng bài toán tìm các giá trị nguyên để biểu thức nguyên.

Giải chi tiết

Với \(a > 0,\,\,a \ne 2,\,\,a \ne 1\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\\ = \left( {\frac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} - \frac{{a - \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\\ = \frac{{a + \sqrt a + 1 - a + \sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}:\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\\ = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }}.\frac{{a - 2}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}}\end{array}\)

Vậy \(P = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}}\) với \(a > 0,\,\,a \ne 2,\,\,a \ne 1\).

Ta có: \(P = \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a + 2} \right) - 8}}{{a + 2}} = 2 - \frac{8}{{a + 2}}\)

Để \(P\) đạt giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{8}{{a + 2}}\) đạt giá trị nguyên

\( \Leftrightarrow a + 2 \in U\left( 8 \right)\)\( \Leftrightarrow a + 2 \in \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;1;2;4;8} \right\}\)

\( \Leftrightarrow a \in \left\{ { - 10; - 6; - 4; - 3; - 1;0;2;6} \right\}\)

Kết hợp với điều kiện \(a\) nguyên dương, \(a > 0,\,\,a \ne 2,\,\,a \ne 1\) nên \(a = 6\).

Vậy với \(a = 6\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link