Biết phương trình ${\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt

Câu hỏi số 508016:

Vận dụng cao

Biết phương trình ${\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)$ có một nghiệm dạng $x = a + b\sqrt 2 $ trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính $2a + b$.

A. $3$

B. $8$

C. $4$

D. $5$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:508016

Giải chi tiết

Ta có ${\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Điều kiện xác định: $x > 1$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}2\sqrt x = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\log _5}t + 2{\log _3}\left( {t - 1} \right)$, với $t > 1$

$f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 5}} + \frac{2}{{\left( {t - 1} \right)\ln 3}} > 0$ với mọi $t > 1$, suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

Từ $\left( * \right)$ ta có $f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right)$

Nên suy ra $2\sqrt x + 1 = x \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} - 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 + \sqrt 2 $ (do $x > 1$)

Suy ra $x = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 3\,;\,\,b = 2 \Rightarrow 2a + b = 8$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.