Cho phương trình \({\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} + 3m{\log _3}\left( {3x} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\). Gọi

Câu hỏi số 509203:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} + 3m{\log _3}\left( {3x} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên \(m\) mà phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} < \dfrac{{10}}{3}\). Số phần tử của \(S\) là

A. \(1\) B. \(0\) C. \(10\) D. Vô số

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509203

Phương pháp giải

Đặt \(t = {\log _3}x \Rightarrow x = {3^t}\)

Đưa phương trình ban đầu về phương trình ẩn \(t\).

Với mỗi giá trị của \(t\) thì chỉ có duy nhất một giá trị của \(x\) nên phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình mới có 2 nghiệm phân biệt. Tìm điều kiện để phương trình mới có 2 nghiệm phân biệt và giải nghiệm đó ra.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _3}x \Rightarrow x = {3^t}\), phương trình trở thành :

\({t^2} + 3m\left( {1 + t} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 3mt + 2{m^2} + m - 1 = 0\)

\({\Delta _t} = {\left( {m - 2} \right)^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - m - 1\\{t_2} = - 2m + 1\end{array} \right.\)

\({t_1} = {\log _3}{x_1}\,\,;\,\,\,{t_2} = {\log _3}{x_2}\)

\({x_1} + {x_2} < \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow {3^{ - m - 1}} + {3^{ - 2m + 1}} < \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{ - m}}}}{3} + 3.{\left( {{3^{ - m}}} \right)^2} < \dfrac{{10}}{3}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \({3^{ - m}} = u > 0\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{u^2} + \dfrac{u}{3} - \dfrac{{10}}{3} < 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{10}}{9} < u < 1 \Leftrightarrow - \dfrac{{10}}{9} < {3^{ - m}} < 1 \Leftrightarrow - m < 0 \Leftrightarrow m > 0\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \({\Delta _t} > 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Vậy \(S\) có vô số phần tử.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.