Cho biểu thức: \(B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} + \frac{8}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}

Câu hỏi số 509779:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} + \frac{8}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{5}{{{x^2} - 1}}\)

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(B\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\) và chứng minh \(B > 0\) với mọi \(x \ne \pm 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509779

Phương pháp giải

a) Xác định điều kiện của từng phân thức sau đó kết luận

b) Vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số.

Áp dụng các hẳng đẳng thức được học để biến đổi rút gọn các biểu thức.

Nhận thấy mẫu thức là hằng số luôn dương, vận dụng hằng đẳng thức biến đổi để chứng minh minh tử thức luôn

dương từ đó đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ne \pm 1\).

b) \(B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} + \frac{8}{{{x^2} - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{5}{{{x^2} - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \left[ {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} + \frac{8}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right].\frac{{{x^2} - 1}}{5}\\ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 8 - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{{x^2} - 1}}{5}\\ = \frac{{2{x^2} + 3x + 1 + 8 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\ = \frac{{{x^2} + 5x + 8}}{5}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{{x^2} + 5x + 8}}{5}\) với \(x \ne \pm 1\).

Ta có: \({x^2} + 5x + 8 = {x^2} + 2.\frac{5}{2}.x + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 8 = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(x \ne \pm 1\).

Mà \(5 > 0\)

Do đó, \(B = \frac{{{x^2} + 5x + 8}}{5} > 0\) với mọi \(x \ne \pm 1\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link