Chứng minh rằng với mọi \(x \ne 1\), biểu thức \(P = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2}

Câu hỏi số 509780:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi \(x \ne 1\), biểu thức \(P = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\) luôn luôn có giá trị dương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:509780

Phương pháp giải

Vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số.

Áp dụng các hẳng đẳng thức được học để biến đổi rút gọn các biểu thức.

Nhận thấy mẫu thức là một biểu thức luôn dương, từ thức cũng là biểu thức luôn dương với điều kiện đề bài cho.

Giải chi tiết

\(P = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}}\end{array}\)

Vì \({x^2} + 2 > 0\) với mọi \(x\) nên giá trị của biểu thức \(P\) xác định với mọi \(x\).

Ta có, với mọi \(x \ne 1\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} > 0\)

Do đó, \(P\) luôn luôn có giá trị dương với mọi \(x \ne 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link