Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(0\) và thỏa mãn \(\left( {a + b + c}

Câu hỏi số 510198:

Vận dụng

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(0\) và thỏa mãn \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1\). Chứng minh rằng \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510198

Phương pháp giải

Từ giá thiết, suy ra được \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{1}{{a + b + c}}\)

Biến đổi phương trình vừa thu được, tìm được mối quan hệ của \(a,b,c\), thay vào phương trình cần chứng minh.

Giải chi tiết

Vì \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1\) nên \(a + b + c \ne 0 \Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{1}{{a + b + c}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + b + c}}} \right) + \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{a\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{b + c}}{{bc}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left[ {\frac{1}{{a\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{1}{{bc}}} \right] = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left[ {\frac{{bc + {a^2} + ab + ac}}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - b\\b = - c\\c = - a\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link