Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(0\) và thỏa mãn \(\left( {a + b + c}

Câu hỏi số 510198:

Vận dụng

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương khác \(0\) và thỏa mãn \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1\). Chứng minh rằng \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510198

Phương pháp giải

Từ giá thiết, suy ra được \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{1}{{a + b + c}}\)

Biến đổi phương trình vừa thu được, tìm được mối quan hệ của \(a,b,c\), thay vào phương trình cần chứng minh.

Giải chi tiết

Vì \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1\) nên \(a + b + c \ne 0 \Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{1}{{a + b + c}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + b + c}}} \right) + \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{a\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{b + c}}{{bc}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left[ {\frac{1}{{a\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{1}{{bc}}} \right] = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left[ {\frac{{bc + {a^2} + ab + ac}}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - b\\b = - c\\c = - a\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link