Giải phương trình \(\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 5} - 2\sqrt {x + 2} } \right) + \sqrt {2{x^2}

Câu hỏi số 510706:

Vận dụng

Giải phương trình \(\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 5} - 2\sqrt {x + 2} } \right) + \sqrt {2{x^2} + 9x + 10} = 1\) (*)

A. \(S = \left\{ { - 2; - \frac{3}{2};2} \right\}\)

B. \(S = \left\{ { - 2; - \frac{3}{2}; - 2} \right\}\)

C. \(S = \left\{ {2; - \frac{3}{2};2} \right\}\)

D. \(S = \left\{ {2;\frac{3}{2};2} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510706

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của phương trình

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 5} = a\,\,\,\,\left( {a \ge 1} \right)\\\sqrt {x + 2} = b\,\,\,\,\,\,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng tích, giải từng phương trình để tìm ra nghiệm \(a;b\) sau đó tìm \(x\).

Giải chi tiết

\(\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 5} - 2\sqrt {x + 2} } \right) + \sqrt {2{x^2} + 9x + 10} = 1\) (*)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5 \ge 0\\x + 2 \ge 0\\2{x^2} + 9x + 10 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 2\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 5} = a\,\,\,\,\left( {a \ge 1} \right)\\\sqrt {x + 2} = b\,\,\,\,\,\,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right.\)

Ta thấy \({a^2} - 2{b^2} = 2x + 5 - 2\left( {x + 2} \right) = 1\)

\(\left( {x + 3} \right) = \left( {2x + 5} \right) - \left( {x + 2} \right) = {a^2} - {b^2}\)

\(\sqrt {2{x^2} + 9x + 10} = \sqrt {\left( {2x + 5} \right)\left( {x + 2} \right)} = ab\)

Phương trình (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {a - 2b} \right) + ab = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {a - 2b} \right) + ab = {a^2} - 2{b^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right).\left( {a - 2b} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + ab} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right).\left( {a - 2b - 1} \right) + \left( {{b^2} + ab} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - 2b - 1} \right) + b\left( {a + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left[ {\left( {a - b} \right)\left( {a - 2b - 1} \right) + b} \right] = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - 2b - 1} \right) + b = 0\) (Vì \(a + b \ge 1 + 0 = 1 > 0\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - b - 1} \right) - b\left( {a - b} \right) + b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b - 1} \right)\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b - 1} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b - 1 = 0\\a - 2b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: Với \(a - b - 1 = 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}a - b - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 5} - \sqrt {x + 2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 5} = \sqrt {x + 2} + 1 \Leftrightarrow 2x + 5 = x + 3 + 2\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow x + 2 - 2\sqrt {x + 2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = 0\\\sqrt {x + 2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sqrt {x + 2} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: Với \(a - 2b = 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}a - 2b = 0 \Leftrightarrow a = 2b \Leftrightarrow \sqrt {2x + 5} = 2\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow 2x + 5 = 4\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - 2; - \frac{3}{2};2} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link