Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 6cm;\,\,AC = 10cm\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường

Câu hỏi số 510713:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 6cm;\,\,AC = 10cm\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\)và \(BD\). Gọi \(M;\,\,N;\,\,P;\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(OA;\,\,OB;\,\,OC;\,\,OD\). Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:510713

Phương pháp giải

+Tính độ dài đoạn \(BC\) dựa vào định lí Pytago.

+ Chứng minh \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

+ Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật tính \({S_{MNPQ}}\).

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)(định lí Pytago)

\( \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} - A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64\)

\( \Rightarrow BC = 8\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta BOA\) có:

\(M\) là trung điểm của \(OA\) (gt)

\(N\) là trung điểm của \(OB\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BOA\) (định nghĩa đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow MN//AB\) và \(MN = \frac{1}{2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Chứng minh tương tự ta có:

\(NP\) là đường trung bình của \(\Delta BOC\)\( \Rightarrow NP//BC\) và \(NP = \frac{1}{2}BC\)

\(PQ\) là đường trung bình của \(\Delta COD\)\( \Rightarrow PQ//CD\) và \(PQ = \frac{1}{2}CD\)

Ta có: \(MN//AB\)(cmt)

\(AB \bot BC\)(vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow MN \bot BC\)(quan hệ giữa vuông góc và song song)

Mà \(NP//BC\) (cmt)

\( \Rightarrow MN \bot NP\) (quan hệ giữa vuông góc và song song)

Ta có: \(MN//AB\)(cmt)

\(PQ//CD\)(cmt)

\(AB//CD\)(vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow MN//PQ\)(quan hệ giữa các đường thẳng song song)

Ta có: \(MN = \frac{1}{2}AB\) (cmt)

\(PQ = \frac{1}{2}CD\)(cmt)

\(AB = CD\) (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow MN = PQ\)

Xét tứ giác \(MNPQ\) có:

\(MN//PQ\) (cmt)

\(MN = PQ\)(cmt)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

mà \(\angle MNP = {90^0}\) (vì \(MN \bot NP\))

do đó \(MNPQ\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = MN.NP = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{4}.AB.AC = \frac{1}{4}.6.8 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link