Giải phương trình với tham số \(a\):a) \(\frac{{x - a}}{{a + 1}} + \frac{{x - 1}}{{a - 1}} = \frac{{2a}}{{1 -

Câu hỏi số 511023:

Vận dụng

Giải phương trình với tham số \(a\):

a) \(\frac{{x - a}}{{a + 1}} + \frac{{x - 1}}{{a - 1}} = \frac{{2a}}{{1 - {a^2}}}\)

b) \(3x + \frac{x}{a} - \frac{{3a}}{{a + 1}} = \frac{{4ax}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {2a + 1} \right)x}}{{a{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{3{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^3}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:511023

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của phương trình

Quy đồng, rút gọn các phân thức đại số

Đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để tìm nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

a) \(\frac{{x - a}}{{a + 1}} + \frac{{x - 1}}{{a - 1}} = \frac{{2a}}{{1 - {a^2}}}\)

Điều kiện xác định của phương trình: \(a \ne \pm 1\)

\(\frac{{x - a}}{{a + 1}} + \frac{{x - 1}}{{a - 1}} = \frac{{2a}}{{1 - {a^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {a + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = - 2a\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x - {a^2} + a + \left( {a + 1} \right)x - a - 1 + 2a = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1 + a - 1} \right)x - {a^2} + 2a - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2ax - {\left( {a - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2ax = {\left( {a - 1} \right)^2}\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Nếu \(a = 0\), phương trình (*) trở thành: \(0x = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\) (vô lí)

Nếu \(a \ne 0\) và \(a \ne \pm 1\), phương trình (*) có nghiệm \(x = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{2a}}\)

Kết luận:

Nếu \(a = 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Nếu \(a \ne 0\) và \(a \ne \pm 1\) thì phương trình có nghiệm \(x = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{2a}}\)

Điều kiện xác định của phương trình: \(a \ne 0;a \ne - 1\)

\(3x + \frac{x}{a} - \frac{{3a}}{{a + 1}} = \frac{{4ax}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {2a + 1} \right)x}}{{a{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{3{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^3}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3xa{\left( {a + 1} \right)^3} + x{\left( {a + 1} \right)^3} - 3a.a{\left( {a + 1} \right)^2} = 4ax.a\left( {a + 1} \right) + \left( {2a + 1} \right)\left( {a + 1} \right)x - 3{a^3}\\ \Leftrightarrow 3a{\left( {a + 1} \right)^3}x + {\left( {a + 1} \right)^3}x - 4{a^2}\left( {a + 1} \right)x - \left( {2a + 1} \right)\left( {a + 1} \right)x = 3{a^2}{\left( {a + 1} \right)^2} - 3{a^3}\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left[ {3a{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} - 4{a^2} - 2a - 1} \right]x = 3{a^2}\left[ {{{\left( {a + 1} \right)}^2} - a} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {3{a^3} + 6{a^2} + 3a + {a^2} + 2a + 1 - 4{a^2} - 2a - 1} \right)x = 3{a^2}\left[ {{{\left( {a + 1} \right)}^2} - a} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {3{a^3} + 3{a^2} + 3a} \right)x = 3{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right).3a.\left( {{a^2} + a + 1} \right)x = 3{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \({a^2} + a + 1 = {\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall a \in \mathbb{R}\) nên phương trình (*) trở thành: \(3a\left( {a + 1} \right)x = 3{a^2}\)

Vì \(a \ne 0;a \ne - 1\) nên phương trình có nghiệm \(x = \frac{a}{{a + 1}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link