Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AM\) cắt \(CA\) tại

Câu hỏi số 511167:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AM\) cắt \(CA\) tại \(E\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(EM\) và \(AB\). Chứng minh rằng:

a) \({S_{ABC}} = {S_{MEC}}\).

b) \({S_{IEA}} = {S_{IMB}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:511167

Phương pháp giải

a) + Vẽ đường phụ: \(AH \bot BC\), \(EK \bot BC\).

+ Chứng minh tỉ lệ \(EK\) và \(AH\).

+ Viết công thức tính diện tích \(\Delta MEC\) và \(\Delta ABC\) theo \(AH\) và \(BC\). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) + Biểu diễn diện tích \(\Delta ABC\) và \(\Delta MEC\) theo tổng diện tích liên quan đến diện tích \(\Delta IMB;\Delta IAE\).

Giải chi tiết

a) Kẻ \(AH \bot BC\), \(EK \bot BC\), ta có \(AH//EK\).

Xét \(\Delta BEC\) có:

\(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(AM//BE\) (gt)

\( \Rightarrow A\) là trung điểm của \(EC\) (định lí đường trung bình tam giác)

Chứng minh tương tự ta có: \(AH\) là đường trung bình của \(\Delta CEK\)

\( \Rightarrow EK = 2AH\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Ta có: \({S_{MEC}} = \frac{1}{2}.MC.EK = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC.2AH = \frac{1}{2}.BC.AH\) (vì \(MC = \frac{1}{2}BC;\,\,EK = 2AH\))

mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AH\)

Do đó \({S_{MEC}} = {S_{ABC}}\)

b) Theo câu a ta có:

\({S_{MEC}} = {S_{ABC}}\)

hay \({S_{AIMC}} + {S_{IMB}} = {S_{AIMC}} + {S_{IAE}}\)

\( \Rightarrow {S_{IMB}} = {S_{IAE}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link