Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \({2^{n + 5}}{.3^{4n}} + {5^{3n + 1}}\,\, \vdots

Câu hỏi số 512049:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \({2^{n + 5}}{.3^{4n}} + {5^{3n + 1}}\,\, \vdots \,\,37\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512049

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

+) Với \(n = 0\) ta có: \({2^5}{.3^0} + {5^{3.0 + 1}} = 37\,\, \vdots \,\,37\)

+) Giả sử bài toán đúng với \(n = k\), ta có: \({2^{k + 5}}{.3^{4k}} + {5^{3k + 1}}\,\, \vdots \,\,37\)

+) Ta phải chứng minh bài toán đúng với \(n = k + 1\) thì:

\(\begin{array}{l}{2^{\left( {k + 1} \right) + 5}}{.3^{4\left( {k + 1} \right)}} + {5^{3\left( {k + 1} \right) + 1}}\,\, \vdots \,\,37\\{2^{k + 6}}{.3^{4k + 4}} + {5^{3k + 4}}\,\, \vdots \,\,37\end{array}\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{2^{k + 6}}{.3^{4k + 4}} + {5^{3k + 4}} = {162.2^{k + 5}}{.3^{4k}} + {125.5^{3k + 1}}\\{2^{k + 6}}{.3^{4k + 4}} + {5^{3k + 4}} = 162.\left( {{2^{k + 5}}{{.3}^{4k}} + {5^{3k + 1}}} \right) - {37.5^{3k + 1}}\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp thì:

\({2^{k + 5}}{.3^{4k}} + {5^{3k + 1}}\,\, \vdots \,\,37 \Rightarrow {2^{k + 6}}{.3^{4k + 4}} + {5^{3k + 4}}\,\, \vdots \,\,37\)

Vậy bài toán đúng với \(n = k + 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link