Chứng minh rằng với \(n\) là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 3 thì tổng bình phương \(n\) số

Câu hỏi số 512057:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng với \(n\) là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 3 thì tổng bình phương \(n\) số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến \(n\) chia hết cho \(n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:512057

Phương pháp giải

Tổng bình phương của n số tự nhiên liên tiếp từ \(1\) đến \(n\): \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\)

Ta chứng minh: \({S_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)

Giải chi tiết

Thật vậy:

+) Với \(n = 1\): \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = 1 = \frac{{1\left( {1 + 2} \right)\left( {2.1 + 1} \right)}}{6}\). Khẳng định đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử khẳng định đúng với \(n = k\):

\(\begin{array}{l}{S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\\ \Rightarrow {S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{k + 1}} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\ \Rightarrow {S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)

Vậy khẳng định đúng với \(n = k + 1\).

Tóm lại ta có: \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)

Vì \(n\) không chia hết cho 3 nên ta có: \(\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) \vdots 3\) mà \(\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) \vdots 2\) với mọi \(n\) lẻ. Do đó:

\(\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) \vdots 6 \Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} \vdots n\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link