Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai tiếp

Câu hỏi số 514264:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(M\), tia \(AM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(D\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AD\); tia \(CE\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(F\).

Chứng minh rằng \(BF//AM\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514264

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: chứng minh \(\angle MBO + \angle MCO = {180^0}\)

b) Chứng minh \(\Delta MBD\~\Delta MAB\,\,\,\left( {g - g} \right)\) suy ra các tỷ lệ cạnh bằng nhau tương ứng.

c) Vận dụng kiến thức của góc – đường tròn chứng minh \(\angle MEC = \angle BFC\, \Rightarrow EM//BF\,\,\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(MB,MC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot MB\\OC \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle MBO = {90^0}\\\angle MCO = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle MBO + \angle MCO = {180^0}\)

\( \Rightarrow OBMC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\) (đpcm).

b) Xét tam giác \(MBD\) và tam giác \(MAB\) có:

\(\angle BMA\) chung

\(\angle DBM = \angle BAM\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc chắn dây cung)

\( \Rightarrow \Delta MBD\~\Delta MAB\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MB}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Ta có: \(E\) là trung điểm của \(AD\) nên \(OE \bot AD \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\) (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Xét tứ giác \(OEMC\) ta có: \(\angle OEM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \angle COM = \angle CEM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CM\)).

Lại có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà \(\angle BFC\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC\)

(tính chất góc nội tiếp).

Mà hai góc này là hai góc đồng vị.

\( \Rightarrow EM//BF\,\,\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link