Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên

Câu hỏi số 514602:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(SC\) sao cho \(SM = \dfrac{1}{4}SC\).

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\)

2) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AO\) và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(AM\) và song song với \(BD\) và lần lượt cắt \(SB,\,SD\) tại \(E,\,F\). Chứng minh rằng \(MN//(ABE)\)

3) Tính tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{\Delta SEM}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\)

Phương pháp giải

1. Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

2. Sử dụng định lí Ta-let đảo trong \(\Delta SAC\) để chỉ ra \(MN//SA\), mà \(SA \subset \left( {ABE} \right)\) nên kết luận \(MN//\left( {ABE} \right)\)

3. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, nếu \(AB = c;\,BC = a;\,AC = b\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}b.c.\sin A\)

Giải chi tiết

1. Ta có: \(M \in SC \subset (SAC) \Rightarrow M \in (SAC) \Rightarrow M \in (MBD) \cap (SAC)(1)\)

Lại có \(O \in BD \subset (MBD) \Rightarrow O \in (MBD)\)

\(O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\) Suy ra \(O \in (MBD) \cap (SAC)(2)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(OM = (MBD) \cap (SAC)\)

2. Trong tam giác \(SAC\) ta có: \(SM = \dfrac{1}{4}SC \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CS}} = \dfrac{3}{4}(1)\)

Do \(N\) là trung điểm của \(AO\) nên suy ra \(\dfrac{{CN}}{{CA}} = \dfrac{3}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{CM}}{{CS}} = \dfrac{{CN}}{{CA}}\) \( \Rightarrow MN//SA\) mà \(SA \subset (ABE)\) \( \Rightarrow MN//(ABE)\)

3. Gọi \(K\) là giao điểm của \((\alpha )\) với đường thẳng \(SO\), Trong \(\Delta AMC\) từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AM\) cắt \(SC\) tại \(R\).

Ta có: \(\dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{{SM}}{{SR}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}SC}}{{\dfrac{5}{8}SC}} = \dfrac{2}{5}\)

Trong \(\Delta SBD\) có \(EF//BD \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SD}} = \dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{2}{5}\)

Vậy, \(\dfrac{{{S_{\Delta SEM}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}SE.SM\sin \widehat {ESM}}}{{\dfrac{1}{2}SB.SC\sin \widehat {BSC}}} = \dfrac{{SE}}{{SB}}\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{2}{5}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{10}}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:514602

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.