Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên

Câu hỏi số 514602:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(SC\) sao cho \(SM = \dfrac{1}{4}SC\).

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\)

2) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AO\) và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(AM\) và song song với \(BD\) và lần lượt cắt \(SB,\,SD\) tại \(E,\,F\). Chứng minh rằng \(MN//(ABE)\)

3) Tính tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{\Delta SEM}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514602

Phương pháp giải

1. Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

2. Sử dụng định lí Ta-let đảo trong \(\Delta SAC\) để chỉ ra \(MN//SA\), mà \(SA \subset \left( {ABE} \right)\) nên kết luận \(MN//\left( {ABE} \right)\)

3. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, nếu \(AB = c;\,BC = a;\,AC = b\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}b.c.\sin A\)

Giải chi tiết

1. Ta có: \(M \in SC \subset (SAC) \Rightarrow M \in (SAC) \Rightarrow M \in (MBD) \cap (SAC)(1)\)

Lại có \(O \in BD \subset (MBD) \Rightarrow O \in (MBD)\)

\(O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\) Suy ra \(O \in (MBD) \cap (SAC)(2)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(OM = (MBD) \cap (SAC)\)

2. Trong tam giác \(SAC\) ta có: \(SM = \dfrac{1}{4}SC \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CS}} = \dfrac{3}{4}(1)\)

Do \(N\) là trung điểm của \(AO\) nên suy ra \(\dfrac{{CN}}{{CA}} = \dfrac{3}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{CM}}{{CS}} = \dfrac{{CN}}{{CA}}\) \( \Rightarrow MN//SA\) mà \(SA \subset (ABE)\) \( \Rightarrow MN//(ABE)\)

3. Gọi \(K\) là giao điểm của \((\alpha )\) với đường thẳng \(SO\), Trong \(\Delta AMC\) từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AM\) cắt \(SC\) tại \(R\).

Ta có: \(\dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{{SM}}{{SR}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}SC}}{{\dfrac{5}{8}SC}} = \dfrac{2}{5}\)

Trong \(\Delta SBD\) có \(EF//BD \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SD}} = \dfrac{{SK}}{{SO}} = \dfrac{2}{5}\)

Vậy, \(\dfrac{{{S_{\Delta SEM}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}SE.SM\sin \widehat {ESM}}}{{\dfrac{1}{2}SB.SC\sin \widehat {BSC}}} = \dfrac{{SE}}{{SB}}\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{2}{5}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{10}}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.